バイアス分散トレードオフの導出を理解する

私は、統計学習の要素のバイアス分散トレードオフの章を読んでいます。29ページの式には疑問があります（はランダム）期待値と数と分散。モデルの誤差の期待値をここで、は学習者のの予測です。本によると、エラーは

Y = f (x) + ϵ

$Y = f(x)+\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

\hat{ϵ} = E [ϵ] = 0

$\hat{\epsilon} = E[\epsilon]=0$

E [(ϵ - \hat{ϵ})^{2}] = E [ϵ^{2}] = σ^{2}

$E[(\epsilon - \hat\epsilon)^2]=E[\epsilon^2]=\sigma^2$

E [(Y - f_{k} (x))^{2}]

$E[(Y-f_k(x))^2]$

f_{k} (x)

$f_k(x)$

x

$x$

E [(Y - f_{k} (x))^{2}] = σ^{2} + B i a s (f_{k})^{2} + V a r (f_{k} (x)) .

$E[(Y-f_k(x))^2]=\sigma^2+Bias(f_k)^2+Var(f_k(x)).$

私の質問は、なぜバイアス項が0ではないのですか？エラーの式の開発

E [(Y - f_{k} (x))^{2}] = E [(f (x) + ϵ - f_{k} (x))^{2}] = E [(f (x) - f_{k} (x))^{2}] + 2 E [(f (x) - f_{k} (x)) ϵ] + E [ϵ^{2}] = V a r (f_{k} (x)) + 2 E [(f (x) - f_{k} (x)) ϵ] + σ^{2}

$E[(Y-f_k(x))^2]=\\ E[(f(x)+\epsilon-f_k(x))^2]=\\ E[(f(x)-f_k(x))^2]+2E[(f(x)-f_k(x))\epsilon]+E[\epsilon^2]=\\ Var(f_k(x))+2E[(f(x)-f_k(x))\epsilon]+\sigma^2$

$\epsilon$ 独立した乱数である $2E[(f(x)-f_k(x))\epsilon]=2E[(f(x)-f_k(x))]E[\epsilon]=0$

どこがおかしい？

— エマヌエーレ
ソース

間違いではありませんが、以来、1つのステップでエラーが発生しました $E[(f(x)-f_k(x))^2] \ne Var(f_k(x))$ 。 $E[(f(x)-f_k(x))^2]$ は $\text{MSE}(f_k(x)) = Var(f_k(x)) + \text{Bias}^2(f_k(x))$ 。

\begin{aligned} E [(Y - f_{k} (x))^{2}] & = E [(f (x) + ϵ - f_{k} (x))^{2}] \\ = E [(f (x) - f_{k} (x))^{2}] + 2 E [(f (x) - f_{k} (x)) ϵ] + E [ϵ^{2}] \\ = E [{(f (x) - E (f_{k} (x)) + E (f_{k} (x)) - f_{k} (x))}^{2}] + 2 E [(f (x) - f_{k} (x)) ϵ] + σ^{2} \\ = V a r (f_{k} (x)) + {Bias}^{2} (f_{k} (x)) + σ^{2} . \end{aligned}

$\begin{align*} E[(Y-f_k(x))^2]& = E[(f(x)+\epsilon-f_k(x))^2] \\ &= E[(f(x)-f_k(x))^2]+2E[(f(x)-f_k(x))\epsilon]+E[\epsilon^2]\\ &= E\left[\left(f(x) - E(f_k(x)) + E(f_k(x))-f_k(x) \right)^2 \right] + 2E[(f(x)-f_k(x))\epsilon]+\sigma^2 \\ & = Var(f_k(x)) + \text{Bias}^2(f_k(x)) + \sigma^2. \end{align*}$

注： $E[(f_k(x)-E(f_k(x)))(f(x)-E(f_k(x))] = E[f_k(x)-E(f_k(x))](f(x)-E(f_k(x))) = 0.$

— グリーンパーカー
ソース

バイナリ結果の場合、エラー測定としてクロスエントロピーを使用した同等の証拠はありますか？

— -emanuele

バイナリ応答ではあまりうまく機能しません。「統計学習の要素」の第2版のEx 7.2を参照してください。

— マシュードゥルーリー

あなたがから行く方法を説明できる to？

E [{(f (x) - E (f_{k} (x)) + E (f_{k} (x)) - f_{k} (x))}^{2}] + 2 E [(f (x) - f_{k} (x)) ϵ] + σ^{2}

$E\left[\left(f(x) - E(f_k(x)) + E(f_k(x))-f_k(x) \right)^2 \right] + 2E[(f(x)-f_k(x))\epsilon]+\sigma^2$

V a r (f_{k} (x)) + {Bias}^{2} (f_{k} (x)) + σ^{2}

$Var(f_k(x)) + \text{Bias}^2(f_k(x)) + \sigma^2$

— アントワーヌ

バイアスのさらにいくつかのステップ-分散分解

確かに、教科書では、多くの意外な代数が含まれているため、完全な派生物はめったに与えられません。これは、223ページの「統計学習の要素」という本の表記を使用した、より完全な導出です。

私たちがいることを前提とした場合とと我々は回帰適合の期待、予測誤差の式を導き出すことができますの入力における二乗誤差損失を使用して $Y = f(X) + \epsilon$ $E[\epsilon] = 0$ $Var(\epsilon) = \sigma^2_\epsilon$ $\hat f(X)$ $X = x_0$

E r r (x_{0}) = E [(Y - \hat{f} (x_{0}))^{2} | X = x_{0}]

$Err(x_0) = E[ (Y - \hat f(x_0) )^2 | X = x_0]$

表記を簡単にするために、、とし、およびことを思い出してください。 $\hat f(x_0) = \hat f$ $f(x_0) = f$ $E[f] = f$ $E[Y] = f$

\begin{aligned} E [(Y - \hat{f})^{2}] & = E [(Y - f + f - \hat{f})^{2}] \\ = E [(y - f)^{2}] + E [(f - \hat{f})^{2}] + 2 E [(f - \hat{f}) (y - f)] \\ = E [(f + ϵ - f)^{2}] + E [(f - \hat{f})^{2}] + 2 E [f Y - f^{2} - \hat{f} Y + \hat{f} f] \\ = E [ϵ^{2}] + E [(f - \hat{f})^{2}] + 2 (f^{2} - f^{2} - f E [\hat{f}] + f E [\hat{f}]) \\ = σ_{ϵ}^{2} + E [(f - \hat{f})^{2}] + 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} E[ (Y - \hat f)^2 ] &= E[(Y - f + f - \hat f )^2] \\ & = E[(y - f)^2] + E[(f - \hat f)^2] + 2 E[(f - \hat f)(y - f)] \\ & = E[(f + \epsilon - f)^2] + E[(f - \hat f)^2] + 2E[fY - f^2 - \hat f Y + \hat f f] \\ & = E[\epsilon^2] + E[(f - \hat f)^2] + 2( f^2 - f^2 - f E[\hat f] + f E[\hat f] ) \\ & = \sigma^2_\epsilon + E[(f - \hat f)^2] + 0 \end{aligned}$

用語については、上記と同様のトリックを使用して、を加算および減算して、 $E[(f - \hat f)^2]$ $E[\hat f]$

\begin{aligned} E [(f - \hat{f})^{2}] & = E [(f + E [\hat{f}] - E [\hat{f}] - \hat{f})^{2}] \\ = E {[f - E [\hat{f}]]}^{2} + E {[\hat{f} - E [\hat{f}]]}^{2} \\ = {[f - E [\hat{f}]]}^{2} + E {[\hat{f} - E [\hat{f}]]}^{2} \\ = B i a s^{2} [\hat{f}] + V a r [\hat{f}] \end{aligned}

$\begin{aligned} E[(f - \hat f)^2] & = E[(f + E[\hat f] - E[\hat f] - \hat f)^2] \\ & = E \left[ f - E[\hat f] \right]^2 + E\left[ \hat f - E[ \hat f] \right]^2 \\ & = \left[ f - E[\hat f] \right]^2 + E\left[ \hat f - E[ \hat f] \right]^2 \\ & = Bias^2[\hat f] + Var[\hat f] \end{aligned}$

それを一緒に入れて

E [(Y - \hat{f})^{2}] = σ_{ϵ}^{2} + B i a s^{2} [\hat{f}] + V a r [\hat{f}]

$E[ (Y - \hat f)^2 ] = \sigma^2_\epsilon + Bias^2[\hat f] + Var[\hat f]$

理由に関するコメント $E[\hat f Y] = f E[\hat f]$

ここアレコスパパドプロスから撮影

はデータポイントに基づいて構築した予測子であることを思い出してくださいなので、と書くことでそれを覚えることができます。 $\hat f$ $m$ $\{(x^{(1)},y^{(1)}),...,(x^{(m)},y^{(m)}) \}$ $\hat f = \hat f_m$

一方、は、上記のデータポイントで構築されたモデルを使用して、新しいデータポイント行う予測です。したがって、平均二乗誤差は次のように記述できます。 $Y$ $(x^{(m+1)},y^{(m+1)})$ $m$

E [{\hat{f}}_{m} (x^{(m + 1)}) - y^{(m + 1)}]^{2}

$E[\hat f_m(x^{(m+1)}) - y^{(m+1)}]^2$

前のセクションの方程式を展開する

E [{\hat{f}}_{m} Y] = E [{\hat{f}}_{m} (f + ϵ)] = E [{\hat{f}}_{m} f + {\hat{f}}_{m} ϵ] = E [{\hat{f}}_{m} f] + E [{\hat{f}}_{m} ϵ]

$E[\hat f_m Y]=E[\hat f_m (f+ \epsilon)]=E[\hat f_m f+\hat f_m \epsilon]=E[\hat f_m f]+E[\hat f_m \epsilon]$

方程式の最後の部分は次のように見ることができます

E [{\hat{f}}_{m} (x^{(m + 1)}) \cdot ϵ^{(m + 1)}] = 0

$E[\hat f_m(x^{(m+1)}) \cdot \epsilon^{(m+1)}] = 0$

我々は、ポイントに関する次の仮定を行うため。 $x^{(m+1)}$

構築時には使用されませんでした $\hat f_m$
それは他のすべての観測から独立しています $\{(x^{(1)},y^{(1)}),...,(x^{(m)},y^{(m)}) \}$
依存し $\epsilon^{(m+1)}$

完全な派生を持つ他のソース

— ザビエル・バレット・シコット
ソース

なぜ

？私は考えていない

と

あるため、独立している

、基本的に使用して構築されて

。

E [\hat{f} Y] = f E [\hat{f}]

$E[\hat{f}Y]=f E[\hat{f}]$

Y

$Y$

\hat{f}

$\hat{f}$

\hat{f}

$\hat{f}$

Y

$Y$

— フェリペペレス

しかし、問題は、本質的に同じである理由

？ランダム

、エラーから来る

私はなぜでしょうが表示されないように、

と

独立していること、したがって、

。

E [\hat{f} ϵ] = 0

$E[\hat{f}\epsilon]=0$

\hat{f}

$\hat{f}$

ϵ

$\epsilon$

\hat{f}

$\hat{f}$

ϵ

$\epsilon$

E (\hat{f} ϵ) = 0

$\mathbb{E}(\hat{f}\epsilon)=0$

— フェリペペレス

あなたの正確さから、サンプル内とサンプル外の視点が重要であると思われます。それはそうです？サンプルのみで作業し、residualを参照

、残差としてバイアス分散のトレードオフが消えますか？

ϵ

$\epsilon$

— マルコウィッツ

これまで私が理解としてFelipePérez、@のランダム

（ポイントはトレーニングセットで終わったとなった列車の試験スプリットから来

訓練された予測因子として）。言い換えれば、の分散

、我々はトレーニングセットとして取ることができることをある一定のデータ・セットのすべての可能なサブセットから来ています。データセットが固定されているので、全くランダムから来るがない

従って

及び

独立しているが。

\hat{f}

$\hat{f}$

\hat{f}

$\hat{f}$

\hat{f}

$\hat{f}$

ϵ

$\epsilon$

\hat{f}

$\hat{f}$

ϵ

$\epsilon$

— アルベルトサンティーニ

バイアス分散トレードオフの導出を理解する

バイアスのさらにいくつかのステップ-分散分解

理由に関するコメントE[f^Y]=fE[f^]E[f^Y]=fE[f^]E[\hat f Y] = f E[\hat f]

完全な派生を持つ他のソース

理由に関するコメント $E[\hat f Y] = f E[\hat f]$