スパイクなしの打ち切られたガウス曲線の平均とst devの推定

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平均mと標準偏差sの正規分布に従ってデータを生成するブラックボックスがあるとします。ただし、それが0未満の値を出力する場合は常に何も記録しないと仮定します（そのような値が出力されたとさえ言えません）。スパイクのない打ち切りガウス分布があります。

これらのパラメータをどのように推定できますか？

distributions estimation

ほとんどの回答は他のディストリビューションが関係する状況で役立つ可能性があるため、タグを「切り捨てガウス」から「切り捨て」に変更しました。

— whuber

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データのモデルは次のとおりです。

$y_i \sim N(\mu,\sigma^2) I(y_i > 0)$

したがって、密度関数は次のとおりです。

f (y_{i} | -) = \frac{e x p (- \frac{(y_{i} - μ)^{2}}{2 σ^{2}})}{\sqrt{2 π σ} (1 - ϕ (- \frac{μ}{σ}))}

$f(y_i|-) = \frac{exp(-\frac{(y_i-\mu)^2}{2 \sigma^2})}{\sqrt{2 \pi \sigma}\ (1 - \phi(-\frac{\mu}{\sigma}))}$

どこ、

は標準の標準cdfです。 $\phi(.)$

次に、最尤法またはベイズ法のいずれかを使用して、パラメーターおよびを推定できます。 $\mu$ $\sigma$

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Srikant Vadaliが示唆したように、コーエンとHaldは1950年頃にML（Newton-Raphsonルートファインダーを使用）を使用してこの問題を解決しました。別の論文はJSTORで利用可能なMax Halperinの「Estimation in the Truncated Normal Distribution」です（アクセス権を持つユーザー向け）。「切り詰められたガウス推定」をグーグルすると、有用に見えるヒットがたくさん生成されます。

詳細は、この質問を一般化するスレッドで提供されます（一般に、分布を切り捨てます）。打ち切られた分布の最尤推定量を参照してください。最尤推定量をRの最大エントロピーソルバーで（コードを使用して）与えられた最大エントロピーソリューションと比較することも興味深いかもしれません。

— whuber
ソース

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$a=0$ $\mu_t$ $\sigma_t$

$\mu$ $\sigma$

$\mu = \bar{x}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i$

$\sigma = s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$
$TB=a=0$ $\bar{x}$

$TB = a$ $\bar{x} \le 3s$
$\omega, P_3(\omega), P_4(\omega)$ $Q(\omega)$

$\omega = \frac{s^2}{(a-\bar{x})^2}$

$P_3(\omega) = 1+5,74050101\omega - 13,53427037\omega^2 + 6,88665552\omega^3$

$P_4(\omega) = -0,00374615 + 0,17462558\omega - 2,87168509\omega^2 + 17,48932655\omega^3 - 11,91716546\omega^4$

$Q(\omega) = \frac{P_4(\omega)}{P_3(\omega)}$
$\omega \le 0,57081$ $\mu_t$ $<0$
$\mu_t$ $\sigma_t$

$\mu_t = \bar{x} + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})$

$\sigma_{t}^{2} = s^2 + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})^2$

それで全部です...

— JFS
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