定常ARMA方程式の非定常解

「静止」とは「弱い静止」を意味します。

「定常」AR（1）方程式を考えます。

$$X_t=\varphi X_{t-1}+\varepsilon_t,$$ ここでは離散時間モーメント、はゼロ平均ホワイトノイズ（一部のiidシーケンス）、。定常解（つまり、方程式を満たす離散時系列）があることはよく知られています。表ししかし、我々は、一連の他の時間導入することができる「固定」式（明確にするための非定常溶液であるように見える、自由ではないので、明らかであるがゼロ平均）。$t\in\mathbb{Z}$$\varepsilon_t$$\varphi\in(-1,1)$$X_t.$$Y_t=X_t+\varphi^t$$\mathbb{E}[Y_t]$$t$$X_t$

より一般的な定常AR（）プロセスを考えると、弱い定常性特性を何らかの形で損なうことは可能ですか？または、一般的に、定常的な離散時間AR（またはARMA）方程式に非定常解があることは本当ですか？$p$

プロセスを続行すると、という用語が消えるのに気づくでしょう： $\varphi^t$

$$\lim_{t\to\infty}\varphi^t=0$$

したがって、 これは、右側が有限に依存しているにもかかわらずです。

$$E[Y_t]=E[X_t]+E[\varphi^t]=_{t\to\infty}0$$ $t$

したがって、あなたの質問に対する答えは、あなたのプロセスが非定常ではないということです。したがって、反例としては機能しません。$Y_t$

追加の考え。確率論的プロセスのソリューションに関して質問を作成しました。AR（1）プロセスのソリューションは何かを見てください。

たとえば、ステップを予測すると、$\tau$

$$X_{t+\tau}=\varphi^\tau (X_t+\sum_{s=1}^\tau \varepsilon_{t+s}\varphi^{-s})$$

初期のが何であっても、が大きくなると、ゼロにだけでノイズに様子がわかります。項を追加すると、それも消えるので、安定した解は同じです：ゼロ付近のノイズ：$\tau$$X_t$$\varphi^\tau$

$$X_{t+\tau}+\varphi^\tau=\varphi^\tau (X_t+\sum_{s=1}^\tau \varepsilon_{t+s}\varphi^{-s}+\varphi^s)$$

質問で使用されている用語は正確ではありません。モデル（または方程式）とモデルの解を混合しています。

定常または非定常である方程式（この場合は、確率微分方程式のシステム）について話すことは意味がありません。定常性は、それが欠如しているため、ソリューションの特性です。方程式は、定常解または非定常解を持つことができます。

あなたが見つけたのは、ARパラメータときのAR（1）方程式に対する2つの解、1つは定常、もう1つは非定常です。（場合、例ではをに置き換えます。）対照的に、、非定常解のみがあります。$|\phi| \neq 1$$|\phi| > 1$$-t$$t$$|\phi| = 1$

あなたの質問への答えは、はい、これはAR（p）のケースに一般化されます。AR（p）方程式 は、多項式に単位円上の根がなく、すべての根が実数である場合、定常解と非定常解の両方を持ちます。

$$\Phi(L)X_t = \epsilon_t, \; t = \cdots -1, 0, 1, \cdots$$ $\Phi(z^{-p})$

たとえば、AR（2）モデル に定常解とには2つの実根とあり、 は非定常解です。

$$X_t = \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \epsilon_t$$ $(X_t)$$z^2 - \phi_1 z - \phi_2$$a$$b$ $$X_t + a^t + b^{t-1}$$

を設定し、を考慮すると、AR（1）の例にます。$\phi_2 = 0$$z - \phi_1 = 0$