GLMは「パラメーターで線形」でなければなりません

「パラメータの線形」が何を意味するのかについて、いくつかの認知的不協和音が発生しています。たとえば、こことここ。

たとえば、私の理解は $y_i = \beta_0 + \beta_1\beta_2x_1 + \exp(\beta_3)(x_2)^2 + \epsilon$ 2つのパラメーター変数が一緒に乗算されているため（つまり、 ${\beta_1, \beta_2}$ ）。

もし $\beta_1$ （言う）に置き換えられました $\gamma_1$ 、定数です。

誰かがこの点を明確にできるかどうか感謝します。

generalized-linear-model linear parameterization

— ベン・S
ソース

あなたは正しいですが、関数はパラメーターで線形ではありませんが、対数変換を使用してそのようにすることができます

— Repmat

@Repmatどうやって？ログ変換はここでどのように役立ちますか？

— Nick Cox

私は見ていないもの、線形または非線形を作るだろう

β_{1}, β_{2}

$\beta_1, \beta_2$ 別途お見積りはこちら。より肯定的には、GLMが異なるコンテキストで一般的な線形モデルと一般化された線形モデルを意味することに注意してください。これらは重複していますが、決して同一のクラスではありません。

— Nick Cox

製品とexpの削除

— Repmat 2016年

OK、あなたはパラメータを再設定しています。それは（変数の）変換ではなく、私が推測していたことです。

— Nick Cox

回答:

サンプルモデルを再圧縮して、パラメータを線形にすることができます。 $\alpha=\beta_1\beta_2$ ＆ $\zeta=\exp\beta_3$ ：

g (E Y) = β_{0} + α x_{1} + ζ x_{2}^{2}

$g(\operatorname{E} Y) = \beta_0 + \alpha x_1 + \zeta x_2^2$

（明らかに $\beta_1$ ＆ $\beta_2$ 個別に見積ることはできません。非線形モデルはそこで役に立ちません。そして注意してください $\hat\zeta$ 正になるように制約する必要があります。）一部のモデルはそれほど再圧縮できません。

g (E Y) = β_{0} + β_{1} x_{1} + x_{2}^{β_{2}}

$g(\operatorname{E} Y) = \beta_0 + \beta_1 x_1 + x_2^{\beta_2}$

最初は明らかではないかもしれませんが、一部はhttps://stats.stackexchange.com/a/60504/17230です。

— Scortchi-モニカの回復
ソース

再圧縮により、次の情報が失われます

ζ

$\zeta$ 正になるように制約されています。

— Juho Kokkala 2016年

@JuhoKokkala：良い点-覚えておきます。

— Scortchi-モニカの回復

パラメータの線形性は、予測を次のように記述できることを意味します

β_{0} + \sum_{j = 1}^{p} x_{i j} β_{j}

$\beta_0+\sum_{j=1}^px_{ij}\beta_j$

の定義について $x_{ij}$ 。ただし、これらのxはデータの線形関数である必要はありません。たとえば、時系列の多項式近似には $x_{ij}=t_i^j$ どこ $t_i$ データポイントに関連付けられた時間です $i$ 。予測は時間の非線形関数ですが、ベータでは線形です。

更新

コメントに対する返事は「一種」です。もし $\beta_2$ が一定だった場合、予測子は $\beta_0,\beta_1,\exp (\beta_3)$ 。線形ではありません $\beta_3$ 、しかしの変換 $\beta_3$ 。最小二乗推定値に関しては、ここでは大きな違いはありません。

— 確率論的
ソース

返信ありがとうございます。おそらく、私の質問は、xの変換を含めることによっては明確になりません。xの変換ではなく、ベータ（パラメーター）について質問しています。おそらく、上の私の具体的な例についてコメントしていただければ。

— ベンS

GLMの3つのコンポーネントを理解する方が良いと思います。特に、リンク関数の定義方法を理解する必要があります。

以下のスライドの7ページを参照してください。「パラメータ内の線形」は、リンク関数によって変換された後に真になります。

— 石家ビアン
ソース

一般的には重要ですが、リンクはこのスレッドに関連しているようには見えません。

— Nick Cox

パラメータは変換前でも線形です。

— Daeyoung Lim 2016