境界領域上の正規のような分布

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ガウス（正規）分布に似ているが、定義されたセグメントでのみ確率密度が非ゼロになるような分布はありますか。

サークル内の「弾丸の広がり」をモデル化しようとしたときに問題が浮上しました。ガウス分布は正常に機能しますが、弾丸が円の外側に当たる可能性は常にあります。ガウス分布に非常に似ている分布を見つけたいのですが、定義されたセグメント（または円）の外側の確率がゼロであるという特性があります。

編集：はい、実際には円ではなくディスクを意味します。編集：そしてはい、私は（ディスクの半径に沿った）1次元の分布のみが必要です。これは円対称になります（角度に依存しません）。

distributions normal-distribution modeling

— ムベイトフ
ソース

1

ここに密接に関連する質問は、（より少なくより満足のいく答えと、おそらく、ですが）です：math.stackexchange.com/questions/62003/...

— カーディナル

1

（円ではなく）ディスク上の分布に興味があるようですが、モデル内で発砲された弾丸がディスクの外側に落ちない理由は明らかではありません。

— 枢機卿

これは、実際にディスク上に落ちる弾丸の分布がどのように見えるかのモデルになる可能性があります。

— Dason、2011

私のモデルでは、ディスクは「ヒットゾーン」を表しており、「照準」のためにより多くの時間が費やされた場合、ディスクは縮小します。たとえば、コンピュータゲームプレーヤーにとって、「狙う」時間を多く費やしたときにショットがディスクの外に落ちるのは非常にイライラします。

— mbaitoff

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私はあなたの正確な興味をもっと詳しく特定したかっただけです。多くの場合、分析から作業するよりも、分布からサンプリングする方がはるかに簡単です。たとえば、切り捨てられた通常のケースでは、正規化定数の知識や使用をまったく必要としない、簡単なサンプリング方法（つまり、拒否サンプリング）があります。（ただし、特定のケースによっては、より適切なスキームが存在する場合があります。）

— 枢機卿

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打ち切られた正規分布を使用できます。これは、間隔のみを考慮した正規分布です。PDFが1に統合されるように、スケールを変更する必要がありますが、これはまさにあなたが探しているものだと私には思えます。

— デイソン
ソース

打ち切られた正規分布のPDFは非常に複雑です。コサインテーパーのような滑らかなウィンドウで正規分布のDPFを「テーパー」し、単位積分を取得するために再スケーリングするだけなのでしょうか。

— mbaitoff

1

@mbaitoff：ディスク上の切り捨てられた分布からのサンプリングに関しては、拒否サンプリングまたは他の方法で非常に簡単に行うことができます。原点を中心とし、円対称の分布が必要な場合は、単一の分布（たとえば、ユニットディスク上）からのサンプルのみが必要であり、適切に再スケーリングします。

— 枢機卿、

5

VonMises分布は正規分布に似ていますが、円形データで使用され、円の間隔（0〜360度、つまり0〜2ラジアン）で定義されます。

ベータ分布は0〜1で定義されます（ただし、他の間隔にスケーリングできます）。パラメーターは対称で、多くの値でベル型になります。

— グレッグ・スノー
ソース

1

これらは特にフォンミーゼスの良い提案ですが、OPは主に特定の半径のディスク上の分布に関心があるようです。

— 枢機卿2011

1

角度にはVonMisesを、半径にはBetaを使用できます。互いに独立しているか、ベータのパラメータが角度に依存している可能性があります。

— Greg Snow

1

おそらく私は間違っているかもしれませんが、OPは均一な位相分布をもたらすものを探しているようです。フォンミーゼスは、位相同期に関連するアプリケーションを対象にしているようです。弾丸のフェーズがゼロになる可能性が高いことは、たとえば、

π / 2

$\pi/2$ 、ただし、起点を基準にした平均位置にいくらかのバイアスがない限り。そうは言っても、均一分布がフォンミーゼスクラスに含まれているのは素晴らしい機能です。

— 枢機卿、

さて、円内で均一な分布を得るには、半径の三角形の分布と相まって、角度の均一な分布が機能するはずです！

— kjetil b halvorsen 2017年

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これは古い質問ですが、それでも新しい読者には関係があります。レイズドコサイン分布について誰も言及しなかったことに驚いています。

平均で $\mu$ そして広がりパラメータ $s$ それは完全に囲まれています $[\mu - s, \mu + s]$ また、確率密度関数（PDF）にもベル型の曲線があります。

— プラズマセル
ソース

しかし、それは（平面内の）2次元バージョンを持っていますか？

— kjetil b halvorsen 2017年

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@kjetilbhalvorsenわかりませんが、ここでの答えはどれも多変量ソリューションを示していません。

— プラズマセル2017年

0

拒否サンプリングの回答の+1。

ベータ分布からもサンプリングできますか $\alpha$ （別名shape1）は1で、 $\beta \gt 1$ （別名shape2）？これは[0,1]で定義されているため、ディスクの半径を掛けると、半径以上のポイントを選択する確率がゼロになります。

利点は次のとおりです。a）半径以上の距離を選択する可能性はゼロです。b）拒否のサンプリングなどではなく、直接的なサンプリングを実行できます。

欠点は次のとおりです。a）0に近いフィジーであり、b）分布がガウス分布に「非常に類似」していない。（それは実際にはOPが望んでいるものかもしれませんが、ガウスよりも0の近くで、つまり中央ではるかにピークになっています。）

— ウェイン
ソース

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探しているのは、円盤上の均一分布であり、これを単位円（の内部）とする。パラメータ化できます $(r,\theta)$ だから私たちは持っています $0 \le r \le 1$ そして $0 \le \theta \le 2\pi$ 。させることができます $\theta$ に関係なく、均一な分布を持っている $R$ の分布を見つける必要があります $R$ 円上に均一な分布を与えます。確率は面積に比例する必要があるので、 $0 \le a \le b \le 1$ それ

P （ a \leq R \leq b ） α π b^{2} - π a^{2}

$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(a\le R \le b) \propto \pi b^2 - \pi a^2$ そして取る

a = 0

$a=0$ 、

b = 1

$b=1$ 与える

F_{R} (r) = r^{2}

$F_R(r)= r^2$ 。次に密度は導関数です

f_{R} (r) = 2 r

$f_R(r)=2r$ 。の結合密度

R

$R$ そして

θ

$\theta$ その後になる

f （ r 、 θ ） = \frac{1}{2 π} \cdot 2 r = \frac{r}{π}

$f(r,\theta)=\frac1{2\pi}\cdot 2r = \frac{r}{\pi}$ これは簡単にシミュレートできます。2つの独立したユニフォームの合計は、「テント」分布と呼ばれることもある三角形（対称）の分布を持っています。テントの左側のみが必要です。これは、テントの上部（モード）の垂直線で分布をミラーリングすることで取得できます。Rでこれをシミュレートすると、次のようになります。

シミュレーションのRコードは次のとおりです。

set.seed(7*11*13)
rleft_tri  <-  function(n) {
    T  <-  runif(n)+runif(n)
    val  <-  ifelse(T <= 1,T, 2-T)
    val
}

rdisk  <-  function(n)  {
    val  <-  cbind(  rleft_tri(n),  2*pi*runif(n) )
    colnames(val)  <-  c("R","Theta")
    val
    }

#

library(plotrix)
par(bg="antiquewhite")
points  <- rdisk(10000)         plot(c(-1,1),c(-1,1),type="n",axes=FALSE,xlab="",ylab="",xlim=c(-1.1,1.1),ylim=c(-1.1,1.1))
    draw.circle(x=c(0,0),y=c(0,0),radius=1,col="aquamarine")
    points(with(as.data.frame(points),cbind(R*cos(Theta), R*sin(Theta))),pch=".",col="red",cex=2)

これは@Greg Snowの古い回答の特別なケースであることに注意してください。「左側のテント」の分布はパラメーター付きのベータ分布なので $a=2, b=1$ 。しかし、それをシミュレートするための上記のコードは、ベータからシミュレーションするための一般的なコードよりもおそらく高速です（またはCでプログラムされている場合はそうなります）。

— kjetil b halvorsen
ソース