Frisch-Waugh定理の有用性

私は、計量経済学でフリッシュ・ウォーの定理を教えることになっていますが、これは勉強していません。

私はその背後にある数学を理解しており、「他のリグレッサの影響を「排除」する場合、多重線形モデルから特定の係数に対して得られる係数が単純回帰モデルの係数に等しい」という考えも願っています。したがって、理論的なアイデアは一種のクールです。（私が完全に誤解した場合、訂正を歓迎します）

しかし、それはいくつかの古典的/実用的な使用法を持っていますか？

編集：私は答えを受け入れましたが、他の例/アプリケーションをもたらす新しいものを喜んで持っています。

— アンソニー・マーティン
ソース

明らかなものは変数プロットの追加でしょうか？

— シルバーフィッシュ

Dougherty's Introduction to Econometricsは、Frisch-Waugh-Lovellの定理を使用する別の例を言及しています。時系列の計量経済分析の初期の頃は、変数が決定論的な時間傾向を持ち、回帰する前にすべての傾向を消すモデルでは非常に一般的でした。しかし、FWLでは、リグレッサとして時間トレンドを含めるだけで同じ係数が得られ、さらに1 dfが消費されたことを認識するため、「正しい」標準誤差が得られます。

— シルバーフィッシュ

Doughertyはこの手順に対して警告するので、その点で有益な例ではありますが、それは素晴らしい例ではありません。経済的変数は、トレンド定常ではなく差分定常であるように見えることが多いため、この種の試行されたトレンド除去は機能せず、誤った回帰を引き起こす可能性があります。

— シルバーフィッシュ

@Silverfish：FWLは純粋に代数的手法であるため、決定的な傾向を抽出することは、基礎となるDGPを考慮して「正しい」かどうかの問題は間違いなく重要ですが、FWLとは無関係であるため、その意味であなたの例は完全に有効なものですOPは、ポイント推定値を取得する2つの方法について質問します。

— クリストフハンク

私は多くの投稿でこの関係を悪用しました。主に概念的な目的で、回帰現象の興味深い例を提供します。とりわけ、stats.stackexchange.com / a / 46508、stats.stackexchange.com / a / 113207、およびstats.stackexchange.com/a/71257を参照してください。

— whuber

回答:

最小二乗ダミー変数（LSDV）モデルとも呼ばれる固定効果パネルデータモデルを検討してください。

$b_{LSDV}$ 直接モデルにOLSを適用することによって計算することができる

y = X β + D α + ϵ,

$y=X\beta+D\alpha+\epsilon,$ ここで、

D

$D$ であるダミーのマトリックスと

N T \times N

$NT\times N$

α

$\alpha$ 個々の固有の固定効果を表します。

計算するための別の方法 $b_{LSDV}$ 、いわゆるを適用することで変換範囲内、すなわち、それのdemeanedバージョン得るために、通常のモデル

M_{[D]} y = M_{[D]} X β + M_{[D]} ϵ .

$M_{[D]}y=M_{[D]}X\beta+M_{[D]}\epsilon.$ ここで、

M_{[D]} = I - D (D^{'} D)^{- 1} D^{'}

$M_{[D]}=I-D(D'D)^{-1}D'$ の回帰の残差メーカー行列

D

$D$ 。

FWLは、あなたが回帰の回帰係数（ここでは一部の計算ができることを言うようフリッシュ・ウォー・ラヴェルの定理により、2は、等価ですして） $\hat\beta$

回帰他の説明変数（ここでは、上に残差を保存し、）（ここで、時間demeaned または、定数に回帰だけ変数退役ため）、次いで $y$ $D$ $y$ $M_{[D]}y$
でを回帰し、残差を保存します。 $X$ $D$ $M_{[D]}X$
互いに上に残留物を回帰に。 $M_{[D]}y$ $M_{[D]}X$

典型的なパネルデータセットには数千のパネルユニットがあるため、2番目のバージョンははるかに広く使用されています。そのため、最初のアプローチでは数千のリグレッサで回帰を実行する必要があります。の逆数を計算するコンピュータは非常に高価ですが、時間を縮めるとはほとんどコストがかかりません。 $N$ $(D :X)'(D: X)$ $y$ $X$

— クリストフ・ハンク
ソース

本当にありがとう、これは私が実際に使用するのが少し進んでいるにもかかわらず、私が探していた種類の答えです。それで、あなたの答えは私と一緒にうまくいきます、しかし、私が他のものを持っているならば、私は幸せです、私はあなたのものを受け入れることになっていますか？

— アンソニーマーティン

それが助けたなら、そうするのが適切でしょう。ただし、承認すると、より良い回答が得られる可能性が低くなるため、この回答を承認するまで待つことを検討してください。報奨金は、より多くの回答を得る可能性をさらに高めます-質問の量を考えて定期的に質問に答えるCVのユーザーが十分ではないため、単一の回答でも他のアクティブなユーザーが質問が処理されたと結論付ける可能性があります（私は以下のやや単純な回答を投稿しました。）

— クリストフハンク

これは私の最初の答えの簡略版です。これは実用的ではありませんが、教室で使用するために「販売」する方が簡単だと思います。

回帰および同じを得、

y_{私} = β_{1} + \sum_{j = 2}^{K} β_{j} {バツ}_{私 j} + ϵ_{私}

$y_i = \beta_1 + \sum_{j=2}^K\beta_jx_{ij} + \epsilon_i$

y_{私} - \bar{y} = \sum_{j = 2}^{K} β_{j} （ {バツ}_{私 j} - {\bar{バツ}}_{j} ） + {\overset{〜}{ϵ}}_{私}

$y_i-\bar{y} = \sum^K_{j=2}\beta_j(x_{ij} - \bar{x}_j) + \tilde{\epsilon}_i$

{\hat{β}}_{j}

$\widehat{\beta}_j$

。これは以下のように見ることができる：テイク

、従って

j = 2, \dots, K

$j=2,\ldots,K$

x_{1} = 1 := (1, \dots, 1)^{'}

$\mathbf{x}_1=\mathbf{1}:=(1,\ldots,1)'$

その結果、

したがって、定数

での変数の回帰の残差は、単に卑劣な変数です（もちろん、同じ論理が

適用されます）。

M_{1} = 私 - 1 （ 1^{'} 1 ）^{- 1} 1^{'} = 私 - \frac{1 1^{'}}{n} 、

$M_\mathbf{1}=I-\mathbf{1}(\mathbf{1}'\mathbf{1})^{-1}\mathbf{1}'=I-\frac{\mathbf{1}\mathbf{1}'}{n},$

M_{1} {バツ}_{j} = {バツ}_{j} - 1 n^{- 1} 1^{'} {バツ}_{j} = {バツ}_{j} - 1 {\bar{バツ}}_{j} =： {バツ}_{j} - {\bar{バツ}}_{j} 。

$M_{\mathbf{1}}\mathbf{x}_j=\mathbf{x}_j-\mathbf{1} n^{-1}\mathbf{1}'\mathbf{x}_j=\mathbf{x}_j-\mathbf{1}\bar{x}_j=:\mathbf{x}_j-\bar{\mathbf{x}}_j.$

M_{1} x_{j}

$M_{\mathbf{1}}\mathbf{x}_j$

y_{i}

$y_i$

— クリストフ・ハンク
ソース

ここにもう1つ、より間接的なものがありますが、興味深いもの、つまり、定常時系列の部分自己相関係数を計算するためのさまざまなアプローチ間の接続です。

定義1

{\hat{Y}}_{t} - μ = α_{1}^{（ m ）} （ Y_{t - 1} - μ ） + α_{2}^{（ m ）} （ Y_{t - 2} - μ ） + \dots + α_{m}^{（ m ）} （ Y_{t - m} - μ ）

$\begin{equation} \hat{Y}_{t}-\mu=\alpha^{(m)}_1(Y_{t-1}-\mu)+\alpha^{(m)}_2(Y_{t-2}-\mu)+\ldots+\alpha^{(m)}_m(Y_{t-m}-\mu) \end{equation}$

m

$m$

α_{m}^{(m)}

$\alpha^{(m)}_m$

$m$ $Y_t$ $Y_{t-1},\ldots,Y_{t-m+1}$ $\rho_m$ $Y_t$ $Y_{t-m}$

$\alpha^{(m)}_j$ $Z_t$ $X_t$

E [{バツ}_{t} （ Z_{t} - {バツ}_{t}^{⊤} α^{（ m ）} ）] = 0

$\begin{equation} E[X_t(Z_t-X_t^\top\mathbf{\alpha}^{(m)})]=0 \end{equation}$

α^{(m)}

$\mathbf{\alpha}^{(m)}$

α^{（ m ）} = [E （ {バツ}_{t} {バツ}_{t}^{⊤} ）]^{- 1} E [{バツ}_{t} Z_{t}]

$\begin{equation} \mathbf{\alpha}^{(m)}=[E(X_tX_t^\top)]^{-1}E[X_tZ_t] \end{equation}$

Z_{t} = Y_{t} - μ

$Z_t=Y_t-\mu$

{バツ}_{t} = [（ Y_{t - 1} - μ ） 、 （ Y_{t - 2} - μ ） 、 \dots 、 （ Y_{t - m} - μ ）]^{⊤}

$X_t=[(Y_{t-1}-\mu),(Y_{t-2}-\mu),\ldots,(Y_{t-m}-\mu)]^\top$

E （ {バツ}_{t} {バツ}_{t}^{⊤} ） = （ \begin{array}{cccc} γ_{0} & γ_{1} & \dots & γ_{m - 1} \\ γ_{1} & γ_{0} & \dots & γ_{m - 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ γ_{m - 1} & γ_{m - 2} & \dots & γ_{0} \end{array} ）

$E(X_tX_t^\top)=\left(\begin{array}{cccc} \gamma_{0} & \gamma_{1}&\cdots& \gamma_{m-1}\\ \gamma_{1}& \gamma_{0} & \cdots &\gamma_{m-2}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ \gamma_{m-1}&\gamma_{m-2} & \cdots & \gamma_{0}\\ \end{array} \right)$

E （ {バツ}_{t} Z_{t} ） = （ \begin{matrix} γ_{1} \\ ⋮ \\ γ_{m} \end{matrix} ）

$E(X_tZ_t)=\left( \begin{array}{c} \gamma_1 \\ \vdots \\ \gamma_m \\ \end{array} \right)$

α^{（ m ）} = {（ \begin{array}{cccc} γ_{0} & γ_{1} & \dots & γ_{m - 1} \\ γ_{1} & γ_{0} & \dots & γ_{m - 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ γ_{m - 1} & γ_{m - 2} & \dots & γ_{0} \end{array} ）}^{- 1} （ \begin{matrix} γ_{1} \\ ⋮ \\ γ_{m} \end{matrix} ）

$\begin{equation} \mathbf{\alpha}^{(m)}=\left(\begin{array}{cccc} \gamma_{0} & \gamma_{1}&\cdots& \gamma_{m-1}\\ \gamma_{1}& \gamma_{0} & \cdots &\gamma_{m-2}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ \gamma_{m-1}&\gamma_{m-2} & \cdots & \gamma_{0}\\ \end{array} \right)^{-1}\left( \begin{array}{c} \gamma_1 \\ \vdots \\ \gamma_m \\ \end{array} \right)\end{equation}$ の

m

$m$ この場合、偏相関はベクトルの最後の要素です

α^{(m)}

$\mathbf{\alpha}^{(m)}$ 。

そこで、重回帰を実行して、関心のある係数を見つけ、他の係数を制御します。

定義2

の $m$ 偏相関は、の予測誤差の相関です $Y_{t+m}$ で予測 $Y_{t-1},\ldots,Y_{t-m+1}$ の予測誤差で $Y_{t}$ で予測 $Y_{t-1},\ldots,Y_{t-m+1}$ 。

したがって、中間ラグの最初の制御を並べ替えてから、残差の相関を計算します。

— クリストフ・ハンク
ソース