n-1変数を使用してダミー変数を実装する方法は？

4つのレベルを持つ変数がある場合、理論的には3つのダミー変数を使用する必要があります。実際には、これは実際にどのように実行されますか？0-3を使用しますか、1-3を使用し、4を空白のままにしますか？助言がありますか？

注：Rで作業します。

更新：ADに対応する1〜4を使用する1つの列を使用するとどうなりますか？それはうまくいくか、問題を引き起こしますか？

実際には、通常、選択したソフトウェアでダミー変数の作成と操作を処理できます。それが扱われるかもしれないいくつかの方法があります。ここでは、A、B、C、Dの各レベルに1つずつ、4つの観測値を持つデータセットの一般的な可能性をいくつか示します。これらは異なるパラメーター化です。その結果、モデルのフィットはまったく同じになりますが、パラメーターの解釈が異なります。基本的な代数を使用して、あるものから別のものに簡単に変換できます。それらはすべて互いに線形結合であることに注意してください。実際、任意の線形結合を使用できます。

最初のレベルとの違いを使用（Rのデフォルト）：

A 0 0 0
B 1 0 0
C 0 1 0
D 0 0 1

前のレベルとの違いを使用（SASのデフォルト）：

A 1 0 0
B 0 1 0
C 0 0 1
D 0 0 0

「合計」コントラストを使用します。

A    1    0    0
B    0    1    0
C    0    0    1
D   -1   -1   -1

「ヘルマート」コントラストを使用します。

A   -1   -1   -1
B    1   -1   -1
C    0    2   -1
D    0    0    3

変数レベルがA、B、C、およびDであると仮定します。回帰に定数項がある場合は、3つのダミー変数を使用する必要があります。それ以外の場合は、4つすべてが必要です。

ダミー変数を実装するには、数学的に同等の方法が多数あります。回帰に一定の項がある場合、1つの方法は、レベルの1つを「ベースライン」レベルとして選択し、他の3つをそれと比較することです。具体的には、ベースラインレベルがAであるとしましょう。最初のダミー変数は、レベルがBの場合は常に値1になり、それ以外の場合は0になります。2番目は、レベルがCである場合は常に値1を受け取り、それ以外の場合は0を受け取ります。3番目は、レベルがDである場合は常に1を受け取り、それ以外の場合は0を受け取ります。定数項は常に1に等しいため、最初のダミー変数の推定係数は、レベルBとレベルAの差の推定値になります。他のダミー変数についても同様です。

定数項がない場合は、前の例のように作成された4つのダミー変数を使用して、Aレベルに1つ追加するだけです。

Rでは、変数を因子として定義し、それを実装します。

x <- as.factor(sample(LETTERS[1:4], 20, replace = TRUE))
y <- rnorm(20)
lm (y ~ x)

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Call:
lm(formula = y ~ x)

Coefficients:
(Intercept)           xB           xC           xD  
     1.0236      -0.6462      -0.9466      -0.4234  

Rの「lm」、「factor」、「formula」のドキュメントには、詳細の一部が記載されています。

whuberはコメントで、ダミー変数を作成する代わりに0-3または1-4コーディングをコーディングすることはあなたが望むものではないことを教えてくれました。これは試みです-私はうまくいけば、あなたがそのモデルで何をしているのか、なぜそれが間違っているのかを説明します。

変数Xをコーディングして、A、X = 1、B、X = 2、C、X = 3、D、X = 4のようにコーディングすると、回帰を行うときにパラメーターが1つしか得られません。Xに関連付けられた推定パラメーターが2だったとしましょう。これは、Bの平均とAの平均の間の予想される差が2であることを示します。また、Cの平均の間の予想される差を示していますそして、Bの平均は2です。DとCのいくつか。これらのグループの平均の違いを、この非常に厳密なパターンに従うように強制することになります。その1つのパラメーターは、グループのすべての意味が互いにどのように関連しているかを正確に示します。

したがって、この種のコーディングを行った場合、順序が正しいだけでなく、この場合AからBへの増加が予想される場合、BからCおよびCへの増加が予想されるため、からD）までですが、その違いは同じであると想定する必要もあります！

代わりに、提案されているダミーのコーディングを行うと、各グループに独自の意味を持たせることができます-制限なし。このモデルははるかに賢明で、必要な質問に答えます。