カエルの謎-条件付き確率

私はこの謎がインターネットでラウンドをしているのを見ました：https : //ed.ted.com/lessons/can-you-solve-the-frog-riddle-derek-abbott

要約すれば; 50:50の比率で発生するオス：メスのカエルの個体数があります。あなたの近くに地面の2つのパッチがあり、1つは1つのカエルを含み、もう1つは2つのカエルを含みます。あなたの生存は、これらの2つのパッチの1つでメスのカエルを見つけることに依存しますが、1つの試みしかできません。2つのカエルがいるパッチのカエルの1つがオスであることを知っていることを除いて、どのカエルがどれであるかを事前に知ることはできません。

謎を解くには、1匹のカエルが女性である確率は50％ですが、2匹のカエルの1つが女性である確率は2/3（67％）です。男性と女性のペアには4つの組み合わせがあると説明されています。1つはカエルが男性であることがわかっているため除外されます。したがって、ペアで2/3の組み合わせでメスのカエルが見つかり、見つからない場合は1/3です。

確率は私には間違っているようです。これが事実である理由を誰かが明確にできますか？

私が見逃している質問のフレーミングに微妙にあると思います。

私が問題を読んでいるとき、私たちは2つのオプションを選択できます。どちらも、1匹のカエルがオスかメスかを単に50:50の確率で示します。ペアのどのカエルが確実に男性であるかを知らなくても、もう一方のカエルの確率に影響はありません。

私が間違っているのなら、その理由を本当に理解したいと思います。

カエルのペアを見てみましょう。男性のカエルはビデオで鳴き声で識別されます。

ビデオで説明されているように、鳴き声が聞こえる前に、2匹のカエルが与えられた場合、4つの等しく可能性の高い結果があります。

• カエル1は男性、カエル2は男性
• カエル1は女性、カエル2は男性
• カエル1は男性、カエル2は女性
• カエル1は女性、カエル2は女性

男性と女性が等しく独立して発生するという仮定を立てると、サンプル空間はであり、確率要素ごとに。$\{(M,M),(F,M),(M,F),(F,F)\}$$1/4$

さて、このペアから鳴き声が聞こえると、少なくとも1匹のカエルがオスであることがわかります。したがって、イベントは不可能です。次に、この条件によって引き起こされる新しい縮小されたサンプルスペースます。残りの各可能性は依然として等しく可能性が高く、すべてのイベントが一緒に追加される確率はなければなりません。したがって、新しいサンプル空間でのこれら3つのイベントのそれぞれの確率はなければなりません。$(F,F)$$\{(M,M),(F,M),(M,F)\}$$1$$1/3$

私たちにとってひどく終わる唯一のイベントはなので、生き残る確率はです。$(M,M)$$2/3$

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より正式には、条件付き確率の定義は次のとおりです。

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ したがって、が少なくとも1人の女性が存在するイベントであり、が少なくとも1人の男性が存在するイベントである場合、我々は： $A$$B$ $$\begin{align}P(\text{F given at least 1 M}) &= \frac{P(\text{F and at least 1 male})}{P(\text{at least 1 M})}\\ &= \frac{P(\text{1 M and 1 F})}{P(\text{1 M or 2 M})} \\ &= \frac{P[(M,F),(F,M)]}{P[(M,M),(F,M),(M,F)]} \\ &= \frac{1/2}{3/4} = 2/3 \end{align}$$

これは、上記と同じ手順です。

数学はすでにレイアウトされているので、私はいくつかの直感を提供しようとします。問題は、少なくとも1匹のカエルがオスであることを知ることは、特定のカエルがオスであることを知ることとは異なることです。前者のケースは情報量が少なく、これにより後者の状況よりも可能性が高まります。

カエルを左右に呼びましょう。そして、右のカエルが男性であると言われたとしましょう。次に、サンプルスペースから2つの可能なイベントを削除しました。両方のカエルがメスであるイベントと、左カエルがオスで右カエルがメスであるイベントです。現在、確率は本当に半分であり、どちらを選択してもかまいません。左カエルがオスであることがわかった場合も、まったく同じことが当てはまります。

しかし、少なくとも1匹のカエルがオスであるとだけ言われた場合、それが鳴き声を聞くときに起こることですが、左カエルがオスで右カエルがメスであるというイベントを排除することはできません。両方が女性であるイベントのみを削除できるため、少なくとも一方が女性であるイベントは以前の設定よりも可能性が高くなります。

これが紛らわしいのは、少なくとも1人は男性であるということを学ぶと、カエルのペアを選ぶ気にならなくなるはずだと私が自然に考えるためだと思います。この情報により、少なくとも1人が女性である可能性が低くなることは事実ですが、まったく学ぶ前に、少なくとも1人の女性が4分の3の確率で完全に認識されたことも認識します。それはだ曖昧我々はまだ1上の2匹のカエルを好む必要がありますので、それを作る私たちが受け取る情報の。

この場合、あなたの直感は正しいです。問題が述べられているので、生存の確率は50％です。ビデオは私たちが持っている情報に基づいて問題空間を誤って述べているため、誤った結論に至ります。正しい問題空間には8つの条件が含まれ、以下のとおりです。

丸太の上に2匹のカエルがいて、そのうちの1匹が私たちの可能性を何とかしているのでしょうか。（Mは男性、Fは女性、cはクロークを示し、最初の位置は左、2番目の位置は右です）

[
  [Mc, M], 
  [M, Mc],
  [Mc, F], 
  [M, Fc], (X No Male croak) 
  [Fc, M], (X No Male croak)
  [F, Mc], 
  [Fc, F], (X No Male croak)
  [F, Fc], (X No Male croak)
]

オスのカエルが鳴いたという知識を前提にして条件を排除すると、各ケースは、私たちが持っている情報に基づいて等しく可能性があります。予想される結果は4つあります。左の男性カエルは、静かな右の男性カエルの隣に鳴きました。静かな左の男性カエルの隣に右の男性カエルが鳴きました。または、どちらかの方向で単一のメスのカエルとペアになった鳴くオスのカエルがいました。これを直感的に理解するために、2匹のオスのカエルは、1匹のオスのカエルとメスのペアを組んで鳴く可能性が2倍高いため、適切に重み付けする必要があります。

また、カエルの鳴き声（C）とカエル以外の鳴き声（N）で検索スペースを分割することもできます。鳴くカエルは100％男性なので、生き残るのに役立つ可能性がないため、検索から除外できます。著者は「モンティホール問題」を作成するつもりでしたが、うっかり「男の子または女の子のパラドックス」を作成しました。

次の質問では、さまざまな結果が得られます。

男性がいるとすれば、もう一方が女性である可能性はどれくらいですか？

男性のカエルが鳴いたことを考えると、他の女性が女性である可能性は何ですか？

2番目のケースの詳細情報を知っています

https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

前回は長すぎて理解しにくいので、これに対する明確な答え。

同じ文字を使用しましたが、可能な結果は異なります。サンプルスペースを明確にするために、可能な結果について説明します

MM- >「左側に男性」-「右側にランダムな男性」

MF- >「男性は左側にいます」-「ランダムな右側の女性」

MM- >「男性は右側にいます」-「ランダムな左側の男性」

MF- >「男性は右側にいます」-「ランダムな左側の女性」

この問題で私が抱えている問題は、2つのカエルがオスとメス、オスとオスの場合に考えられる結果について、ソリューションが異なるルールを使用しているように見えることです。

F / MペアとM / Fペアは異なります。これは、最初のカエルと2番目のカエルのどちらが男性であるかがわからないためです。 「メスのカエル1匹、オスのカエル1匹」に相当します。

ただし、同じロジックを適用する必要があるとしても、M / Mペアは1つの可能な結果と見なされます。どのカエルが鳴き声を発したものかわからないため、どちらのカエルも私たちが聞いたカエルである可能性があり、もう一方はそれでも男性である可能性があり、それはちょうど鳴き声が起こったことはなかった。

何も知らない：。4つの可能な組み合わせから少なくとも1人の女性がいる3つのペア：または$\{(M,M), (M,F), (F,M), (F,F)\}$$3/4$$75\%$

最初のものを知っているのは男性です： $\{(M,M), (M,F)\}$。2つの可能な組み合わせから少なくとも1人の女性がいる1つのペア：$1/2$ または $50\%$

少なくとも1人の男性がいることを知る： $\{(M,M), (M,F), (F,M)\}$。3つの可能な組み合わせから少なくとも1人の女性がいる2つのペア：$2/3$ または $67\%$

鳴き声を聞く前に、2匹のカエルが与えられた場合、4つの等しく可能性の高い結果があります。

カエル1は男性、カエル2は男性

カエル1は女性、カエル2は男性

カエル1は男性、カエル2は女性

カエル1は女性、カエル2は女性

男性と女性が等しく独立して発生するという仮定を立てると、サンプル空間は{（M、M）、（F、M）、（M、F）、（F、F）}であり、1/4の確率があります各要素。

このペアから鳴き声が聞こえると、少なくとも1匹のカエルがオスであることがわかります。この男性は、カエル1とカエル2のどちらかである可能性があります。したがって、カエル1には、2つの可能性が高い結果があります。

カエル1は男性

カエル1はランダムカエルです

男性と女性が等しく独立して発生するという仮定を行うと、ランダムカエルはランダム男性またはランダム女性である可能性が等しくなります。

P（カエル1はランダムなカエルを与えられたランダムな男性です）= P（カエル1はランダムなカエルを与えられたランダムな女性です）= 1/2

P（カエル1はランダムな男性であり、カエル1はランダムなカエルです）= P（カエル1はランダムなカエルです）P（カエル1はランダムなカエル1はランダムなカエルです）=（1/2）（1/2）= 1 / 4

P（カエル1はランダムなカエルであり、カエル1はランダムなカエルです）= P（カエル1はランダムなカエルです）P（カエル1はランダムなカエルを与えられたランダムなカエルです）=（1/2）（1/2）= 1 / 4

したがって、カエル1には3つの可能な結果があります。

カエル1は男性

カエル1はランダムな男性です

カエル1はランダムな女性です

と確率は次のとおりです。

P（カエル1は男性）= 1/2

P（カエル1はランダムな男性）= 1/4

P（カエル1はランダムな女性）= 1/4

ここで、カエル1の考えられる結果ごとに、カエル2の考えられる結果が2つあります。

カエル2は男性

カエル2はランダムカエルです

カエル1の可能な結果ごとに、ランダムカエルは、ランダムな男性またはランダムな女性である可能性が等しくなります。

したがって、カエル1の考えられる結果ごとに、カエル2の考えられる結果は3つあります。

カエル2は男性

カエル2はランダムな男性です

カエル2はランダムな女性です

P（カエル1が男性の場合、カエル2は男性）= 0

P（カエル1がランダムな男性の場合、カエル2は男性）= 1

P（カエル1がランダムな女性の場合、カエル2は男性）= 1

P（カエル1が男性である場合、カエル2はランダムな男性）= 1/2

P（カエル1がランダムな男性の場合、カエル2はランダムな男性）= 0

P（カエル1がランダムな女性の場合、カエル2はランダムな男性）= 0

P（カエル1が男性の場合、カエル2はランダムな女性です）= 1/2

P（カエル1がランダムなオスの場合、カエル2はランダムなメス）= 0

P（カエル1がランダムな女性の場合、カエル2はランダムな女性）= 0

P（カエル2はランダムな男性であり、カエル1は男性である）= P（カエル1は男性である）P（カエル2はランダムな男性であり、カエル1が男性である）=（1/2）（1/2）= 1/4

P（カエル2はランダムな女性で、カエル1は男性です）= P（カエル1は男性です）P（カエル 1が男性である場合、カエル2はランダムな女性です）=（1/2）（1/2）= 1/4

P（カエル2は男性で、カエル1はランダムな男性）= P（カエル1はランダムな男性）* P（カエル1はランダムな男性である場合、カエル2は男性）=（1/4）* 1 = 1/4

P（カエル2は男性、カエル1はランダムな女性）= P（カエル1はランダムな女性）* P（カエル2は男性であり、カエル1はランダムな女性）=（1/4）* 1 = 1/4

したがって、サンプル空間は{（Male、Random Male）、（Male、Random Female）、（Random Male、Male）、（Random Female、Male）}であり、各要素の確率は1/4です。

P（少なくとも1 Mが与えられたF）= P（Fおよび少なくとも1人の男性）/ P（少なくとも1 M）= P（1 Mおよび1 F）/ P（1 Mまたは2 M）= P [（男性、ランダムな女性）、（ランダムな女性、男性）] / P [（男性、ランダムな男性）、（男性、ランダムな女性）、（ランダムな男性、男性）、（ランダムな女性、男性）] =（1/2）/ （4/4）= 1/2