独立と相関の違いの実際の例

確率変数の独立性はゼロ相関を意味しますが、ゼロ相関が独立性を意味する必要はありません。

相関関係がゼロであるにもかかわらず、依存関係を実証する数学的例がたくさんありました。この事実を裏付ける実例はありますか？

correlation independence intuition

— user46697
ソース

注意してください。相関関係がゼロで、通常の変数のみが独立していることを意味します。

— フランシス

@Siddesh「しかし、ボリュームは長さの線形関数ではないので、相関はありません。」まあ、完全には相関していません。しかし、それらは正の相関があります。

— Silverfish

@Siddhesh：

...

E [{l e n g t h}^{4}] - E [l e n g t h] E [{l e n g t h}^{3}] = 0

$E[\mathrm{length}^4]-E[\mathrm{length}]E[\mathrm{length}^3]=0$

— Francis

私の編集に同意しない場合は、正規分布に関するコメントを自由に戻してください。しかし、（1）それはあなたの主な質問の気を散らす副次的な問題であり、（2）以前にCVで既に尋ねられているので、ここに既存の資料の複製があるので、それは削除するほうがよいと思いました（ 3）将来の読者を混乱させたくありませんでした。再開できる可能性が高くなるような方法で質問を編集しようとしました。この質問は、同じトピックの「数学統計」の質問とはかなり異なると思います。

— Silverfish

私はまだこの質問は本当にいいと思います、そしてそれを再び開くことができればさらに興味深い答えを引き付けるかもしれません（これは現在複製と見なされているスレッドと明確に区別するための編集が必要になるかもしれません）。この質問を再開するために必要なことについて、メタに関するスレッドを上げました。すべてのコメントを歓迎します。

— Silverfish 2016年

回答:

株式のリターンは、あなたが求めているもののまともな現実の例です。今日と昨日のS＆P 500のリターンには、ほぼゼロの相関関係があります。ただし、明確な依存関係があります。2乗リターンは正の自己相関です。揮発性の高い期間は時間的にクラスター化されます。

Rコード：

library(ggplot2)
library(grid)
library(quantmod)

symbols   <- new.env()
date_from <- as.Date("1960-01-01")
date_to   <- as.Date("2016-02-01")
getSymbols("^GSPC", env=symbols, src="yahoo", from=date_from, to=date_to)  # S&P500

df <- data.frame(close=as.numeric(symbols$GSPC$GSPC.Close),
                 date=index(symbols$GSPC))
df$log_return     <- c(NA, diff(log(df$close)))
df$log_return_lag <- c(NA, head(df$log_return, nrow(df) - 1))

cor(df$log_return,   df$log_return_lag,   use="pairwise.complete.obs")  # 0.02
cor(df$log_return^2, df$log_return_lag^2, use="pairwise.complete.obs")  # 0.14

acf(df$log_return,     na.action=na.pass)  # Basically zero autocorrelation
acf((df$log_return^2), na.action=na.pass)  # Squared returns positively autocorrelated

p <- (ggplot(df, aes(x=date, y=log_return)) +
      geom_point(alpha=0.5) +
      theme_bw() + theme(panel.border=element_blank()))
p
ggsave("log_returns_s&p.png", p, width=10, height=8)

S＆P 500では、時系列のログが返されます。

リターンが時間を通じて独立している（そして定常的である）場合、クラスター化されたボラティリティのパターンを確認することはほとんどありません。

— エイドリアン
ソース

別の例は、試験におけるストレスと成績の関係です。関係は逆U字型であり、因果関係がかなり明確に見えても、相関は非常に低くなっています。

— ピーターフロム-モニカの復活
ソース

それはきちんとした例です。あなたは内省/教育経験に基づいたデータまたはこれを持っていますか？

— エイドリアン

これについての研究を見ましたが、何年も前に見たので、引用や実際のデータはありません。

— ピーターフロム-モニカの回復