回帰係数の逆数の分布

我々は、線形モデルがあるとしすべての標準回帰（ガウス-マルコフ）前提条件を満たしています。我々は、に興味がある。 $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$ $\theta = 1/\beta_1$

質問1：どのような仮定を配信するために必要である明確に定義されるべき？重要であろう---他のもの？ $\hat{\theta}$ $\beta_1 \neq 0$

質問2：エラーが正規分布に従うという仮定を追加します。場合我々は、それを知っている MLEであり単調関数であり、次に、のためのMLEである。単調性は近傍にのみ必要である？言い換えれば、ある MLE？連続マッピング定理は、少なくともこのパラメーターが一貫していることを示しています。 $\hat{\beta}_1$ $g(\cdot)$ $g\left(\hat{\beta}_1\right)$ $g(\beta_1)$ $\beta_1$ $\hat{\theta} = 1/\hat{\beta}$

質問3：デルタ方法と、ブートストラップの両方が配信見つけるための両方の適切な手段である？ $\hat{\theta}$

質問4：どのようにパラメータのためにこれらの答えの変更を行う？ $\gamma = \beta_0 / \beta_1$

余談：問題を整理してを与えることを検討するかもしれません直接パラメータを推定します。ガウス・マルコフの仮定がここではもはや意味をなさないので、これは私にはうまくいかないようです。たとえば、について話すことはできません。この解釈は正しいですか？

\begin{aligned} {バツ}_{私} & = \frac{β_{0}}{β_{1}} + \frac{1}{β_{1}} y_{私} + \frac{1}{β_{1}} ε_{私} \\ = γ + θ y_{私} + \frac{1}{β_{1}} ε_{私} \end{aligned}

$\begin{align*} x_i &= \frac{\beta_0}{\beta_1} + \frac{1}{\beta_1} y_i + \frac{1}{\beta_1} \epsilon_i \\ &= \gamma + \theta y_i + \frac{1}{\beta_1} \epsilon_i \end{align*}$

E [ϵ ∣ y]

$\text{E}[\epsilon \mid y]$

— チャーリー
ソース

「標準」の仮定には、

正規性が含まれていますか？

ϵ_{i}

$\epsilon_i$

— whuber

いい視点ね; MLEの部分にその仮定を追加しました。ただし、他の人にとっては必要ありません。

— チャーリー

標本分布

のどこから、正常であり

、通常の逆数です。これは、二峰性の平均発散（無限大）と、の意味に関係なく

であり、そして0ザ・デルタ方式で平坦無限になることがあり、従って恐ろしいとなり、通常の漸近MLE近似が悪く、さらにブートストラップう疑わしいかもしれません。

β_{1}

$\beta_1$

θ

$\theta$

β_{1}

$\beta_1$

— whuber

@whuber、それについて詳しく教えてください。私の直感は、法線の逆数がどのように二峰性であるかを理解していません。私の推測では、すべての質量は、通常の平均の逆数であろうことになります（ここでは、

）。質量が0に近いため、無限平均の可能性が心配でした。ブートストラップと漸近的な結果は、推定されるモーメントの存在を必要とするため、これが最終的にこの問題にかかっています。

1 / {\hat{β}}_{1}

$1/\hat{\beta}_1$

— チャーリー

相互の通常のPDFは、

。0では、すべての導関数は0になります。その対数の臨界点を見つけることは、正と負のモードを識別します（

と

に関して簡単に計算されます）;

の積分

の積分のように発散する

。無限一次モーメントの問題は、すべての法線を含む、0で正の確率密度を持つ確率変数の逆数に関係します。

\exp (- (1 / x - μ)^{2} / (2 σ^{2})) / (\sqrt{2 π} x^{2} σ) d x

$\exp(-(1/x-\mu)^2/(2\sigma^2))/(\sqrt{2\pi}x^2\sigma)dx$

σ

$\sigma$

μ / σ

$\mu/\sigma$

| x |

$|x|$

| x | / x^{2} = 1 / | x |

$|x|/x^2=1/|x|$

— whuber

Q1。場合のMLEである、次にのMLEで及び、この推定は、よく定義するための十分条件です。 $\hat\beta_1$ $\beta_1$ $\hat\theta$ $\theta$ $\beta_1 \neq 0$

Q2。のMLEである MLEの不変性による。さらに、その逆を取得する必要がない場合は、単調性は必要ありません。各点でを明確に定義する必要があるだけです。これは、Nitis Mukhopadhyayによる「Probability and Statistical Inference」の定理7.2.1 pp。350で確認できます。 $\hat\theta = 1/\hat\beta$ $\theta$ $g$ $g$

Q3。はい、両方の方法を使用できます。また、プロファイル尤度もチェックします。 $\theta$

$(\theta,\gamma)$ $\gamma$ $\hat\gamma=\hat\beta_0/\hat\beta_1$

最後に言及したアプローチは正しくありません。実際には、文献で確認できる「キャリブレーションモデル」を検討しています。必要なのは、関心のあるパラメーターに関してパラメーターを再設定することだけです。

これがお役に立てば幸いです。

敬具。

— XMX
ソース

ご回答ありがとうございます。あなたが引用している本はありませんが、これらの特性は推定されるモーメントの存在を必要とします。通常の逆数に必要な瞬間があるかどうかはわかりません。私の質問では、この点をもっと明確にすべきだった。

— チャーリー