時系列が静止している必要があるのはなぜですか？

定常時系列とは、その平均と分散が時間とともに一定であることを理解しています。別のARIMAまたはARMモデルを実行する前に、データセットが静止していることを確認する必要がある理由を誰かが説明できますか？これは、自己相関および/または時間が要因ではない通常の回帰モデルにも適用されますか？

定常性は、依存構造の一種です。

データます。最も基本的な仮定は、が独立している、つまりサンプルがあるということです。独立性は素晴らしい特性です。それを使用すると、多くの有用な結果を導き出すことができるからです。問題は、このプロパティが保持されない場合がある（ビューによっては頻繁に）ことです。X $X_1,...,X_n$$X_i$

独立性は一意のプロパティになりました。2つのランダム変数は1つの方法でのみ独立できますが、さまざまな方法で依存できます。したがって、定常性は依存構造をモデル化する1つの方法です。独立したランダム変数（大きな数の法則、いくつかの例を挙げると中心極限定理）に当てはまる素晴らしい結果の多くが、定常ランダム変数（厳密に言うとシーケンス）に当てはまることがわかります。そしてもちろん、多くのデータを定常とみなすことができるため、非独立データのモデリングでは定常性の概念が非常に重要です。

定常性があると判断したら、当然、それをモデル化します。これがARMAモデルの出番です。Wold分解定理のおかげで、定常データは定常ARMAモデルで近似できることがわかります。そのため、ARMAモデルは非常に人気があり、これらのモデルを使用するには、シリーズが静止していることを確認する必要があります。

再び、独立と依存の場合と同じ話が成り立ちます。定常性は一意に定義されます。つまり、データは静止しているかどうかであるため、データを静止させる方法はありますが、データを非静止にする方法はたくさんあります。繰り返しますが、多くのデータは特定の変換後に定常状態になります。ARIMAモデルは、非定常性の1つのモデルです。差分をとった後、データが定常になると仮定しています。

データが静止している場合、独立したデータに適用される同じ結果が保持されるため、回帰コンテキストでは、定常性が重要です。

時系列で統計分析を実行するときに、通常どのような量に関心がありますか？私たちは知りたい

• その期待値、
• その分散、および
• 値のセットに対する値期間間の相関。$s$$s$

これらのことをどのように計算しますか？多くの期間にわたって平均を使用します。

多くの期間にわたる平均は、それらの期間にわたって期待値が同じ場合にのみ有益です。これらの母集団パラメーターが異なる場合、時間全体の平均を取ることで実際に何を推定しますか？

（弱い）定常性では、これらの母集団の量が時間とともに同じである必要があり、サンプルを平均してそれらを推定する合理的な方法にします。

これに加えて、定常プロセスはスプリアス回帰の問題を回避します。

統計学習の基本的な考え方は、実験を繰り返すことで学習できるということです。たとえば、画thumbをひっくり返して、画thumbが頭に着く確率を知ることができます。

時系列のコンテキストでは、確率的プロセスの繰り返し実行ではなく、確率的プロセスの単一の実行を観察します。複数の独立した実験ではなく、1つの長い実験を観察します。

確率過程の長期にわたる観察は、確率過程の多くの独立した経過の観察に似ているように、定常性とエルゴード性が必要です。

いくつかの（不正確な）定義

$\Omega$$\{Y_t\}$$t \in \{1, 2, 3, \ldots\}$$\omega \in \Omega$

• $t$$Y_t$$\Omega$
• $\omega$$X(\omega)$$\{Y_1(\omega), Y_2(\omega), Y_3(\omega), \ldots \}$

時系列の基本的な問題

$X_1$$X_2$$X_3$$i = 1, \ldots, n$$\omega_i \in \Omega$$X$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$\operatorname{E}[X]$

$t$$\Omega$

$\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T Y_t$

サンプルスペースからの複数の描画と同様のタスクを達成するための時間にわたる複数の観察のために、定常性とエルゴディシティが必要です。

$\operatorname{E}[Y]$$\frac{1}{T}\sum_{t =1}^T Y_t$$\operatorname{E}[Y]$

例1：定常性の失敗

$\{Y_t\}$$Y_t = t$$\{Y_t\}$

$S_t = \frac{1}{t} \sum_{i=1}^t Y_i$$S_t$$t \rightarrow \infty$$S_1 = 1, S_2 = \frac{3}{2}, S_3 = 2, \ldots, S_t = \frac{t+1}{2}$$Y_t$$S_t$$t \rightarrow \infty$

例：エルゴディシティの失敗

$X$$Y_t = X$$t$$\{Y_t\} = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \ldots)$$\{Y_t\} = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots$

$\operatorname{E}[Y_t] = \frac{1}{2}$$S_t = \frac{1}{t} \sum_{i = 1}^t Y_i$$Y_t$

優れているがより詳細な他の回答の一部に高レベルの回答を追加するには、データがない状態ではデータを記述するモデルの精度が異なる時点で異なるため、定常性が重要です。そのため、対象のすべての時点でデータを正確に記述するために、平均、分散、相関などのサンプル統計には定常性が必要です。

$600<t<800$$200<t<400$

$x_t=x_{t-1}+e_t$

ただし、定常性を探すことはよくあります。どうして？

予測の問題を考慮してください。どのように予測しますか？明日がすべて異なる場合、すべてが異なるため、予測することは不可能です。したがって、予測の鍵は、明日も同じものを見つけ、それを明日に拡張することです。その何かは何でもありえます。いくつか例を示します。

$e_t\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$\sigma^2$$\Delta x_t\equiv x_t-x_{t-1}=e_t$$\Delta x_t$

$x_t=\alpha t+e_t$$E[e_t]=0$$\alpha$

予測を行うには、シリーズの定数（時不変）コンポーネントを見つける必要があります。そうしないと、定義によって予測することができません。定常性は、不変性の特定のケースにすぎません。

ARIMAはほとんどの部分で自己回帰しているため、強い傾向または季節性のいずれかによって不必要に影響を受ける自己誘導型の多重回帰のタイプを使用します。この重回帰手法は、特に最新の期間内の以前の時系列値に基づいており、将来の値を説明するために機能する複数の過去の値間の非常に興味深い「相互関係」を抽出できます。

$X$$(X_{t+1},\ldots,X_{t+k})$$(X_1,\ldots,X_k)$$t$$k$。Wikiから：定常プロセス（または厳密な（静的な）静的プロセスまたは強い（静的な）静的プロセス）は、時間または空間をシフトしても結合確率分布が変化しない確率的プロセスです。その結果、平均や分散などのパラメーターが存在する場合、それらも時間や位置によって変化しません。さらに、Cardinalは以下で正しく指摘しているため、自己相関関数は時間とともに不変でなければなりません（つまり、共分散関数は時間とともに一定です）は、すべての時間間隔で不変/定数であるARMAモデルのパラメーターに変換されます。

ARMAモデルの定常性の考え方は、可逆性の考え方と密接に結びついています。

という形式のモデルを考えます$y(t)=1.1 \,y(t-1)$$(1-1.1 B)$

ARMAとARIMAは、シリーズが静止しているという前提で構築されています。シリーズがそうでない場合、予測は不正確になります。

サンプル統計（平均、分散、共分散）は、系列が定常である場合にのみ、将来の動作の記述子として役立ちます。たとえば、シリーズが時間の経過とともに一貫して増加している場合、サンプルの平均と分散はサンプルのサイズとともに大きくなり、将来の期間の平均と分散を常に過小評価します。非定常データに適合した回帰モデルを外挿しようとするときは注意することが重要です。

私の見解では、確率過程は時間不変でなければならない3つの統計的性質によって支配される過程です。それらは平均分散と自己相関関数です。自己相関関数である3番目のプロパティは、時間が進むにつれて依存性がどのように減衰するか（ラグ）を伝えるものと見なされる必要があります。

何かを解決するには、静的を使用して方程式を数学的にモデル化する必要があります。

1. そのような方程式を解くには、独立していて静止している必要があります（動かない）
2. 定常データでのみ、洞察を得て、多目的の数学演算（平均、分散など）を実行できます。
3. 非定常では、データを取得するのは難しい

変換プロセス中に、傾向と季節性を取得します