ディラックのデルタ関数はガウス分布のサブクラスと見なされるべきですか？

ウィキデータでは、オントロジーの確率分布（他のすべてのものと同様）をリンクすることができます。たとえば、t分布は非中心t分布のサブクラスです。たとえば、次を参照してください。

https://angryloki.github.io/wikidata-graph-builder/?property=P279&item=Q209675&iterations=3&limit=3

たとえば、t分布の自由度が無限大になる場合や、正規分布（ガウス分布）の分散がゼロに近づく場合など、さまざまな制限ケースがあります。後者の場合、分布はディラックのデルタ関数に向かいます。

英語版ウィキペディアでは、現在、分散パラメーターはゼロより大きいと述べられているため、厳密な解釈をすれば、ディラックのデルタ関数が正規分布のサブクラスであるとは言えません。しかし、指数分布はディラックのデルタ関数のスーパークラスであると私が言うように、私にはそれはかなり大丈夫に思えます。

ディラックのデルタ関数がガウス分布のサブクラスであることを示すことに問題はありますか？

ディラックのデルタは、都合が良い場合はガウス分布と見なされ、この観点で例外を設ける必要がある場合はそうではありません。

たとえば、が実数すべての選択肢のガウス確率変数である場合、は多変量ガウス分布を享受すると言われています 。（注：これは「高度な」統計の標準的な定義です）。1つの選択肢はであるため、標準の定義では定数（縮退確率変数）をガウス確率変数（平均と分散持つ）として扱います。一方、次のようなものを検討する場合は、ディラックデルタをガウス分布と見なすことを無視します。$(X_1, X_2, \ldots, X_n)$$\sum_i a_iX_i$$a_1, a_2, \ldots, a_n$$a_1=a_2=\cdots=a_n=0$$0$$0$

「標準偏差を有するゼロ平均ガウスランダム変数の累積確率分布関数（CDF）ある ここで、は標準のガウス確率変数のCDFです。 "$\sigma$

$$F_X(x) = P\{X \leq x\} = \Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)$$ $\Phi(\cdot)$

このステートメントがあることに注意して、ほぼ右ますがなく、かなり右 、我々は標準偏差アプローチゼロ平均ガウス確率変数の列の極限の場合として、ディラックのデルタを考える場合は（ひいてはガウス確率変数として）。ディラックデルタのCDFの値はに対してですが、$0$$1$$x \geq 0$

$$\lim_{\sigma\to 0}\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) = \begin{cases} 0, & x < 0,\\ \frac 12, & x = 0,\\ 1, & x > 0.\end{cases}$$ しかし、多くの人々は、ガラック確率変数の分散は正の数でなければならないと彼らの本が述べているので、ディラックデルタをガウス分布と見なすことはまったくナンセンスであるとあなたは言うでしょう彼らの不快感）。数年前にstats.SEについてこの点について非常に精力的で明快な議論がありましたが、残念ながらそれは個別の回答としてではなく、回答（@Macroによる）のコメントのみであり、再び見つけることはできません。

デルタ関数は、分布の数学的理論に適合します（これは、確率分布の理論とはかなり異なります。ここでの用語は、これ以上混乱させることはできません）。

基本的に、分布は一般化された関数です。関数のように評価することはできませんが、統合することはできます。より正確には、分布は次のように定義されます。$D$

してみましょうの集合でテスト機能。テスト関数は、コンパクトでサポートされた、真の、神に正直な関数であり、スムーズである。分布は線形写像です$T$$\theta$$D: T \rightarrow \mathbb{R}$

正直な関数は、積分演算子による分布を決定します$f$

$$T(\theta) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\theta(x) dx$$

真の関数に関連付けられていない分布があります。ディラック演算子はその1つです

$$\delta(\theta) = \theta(0)$$

この意味で、ディラックは正規分布の限定的なケースと考えることができます。が平均ゼロと分散の正規分布のpdfのファミリーである場合、任意のテスト関数に対して$N_t$$t$$\theta$

$$\theta(0) = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$$

これはおそらくより一般的に次のように表現されます

$$\theta(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \theta(x) dx = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$$

式は実際には意味をなさないため、数学者は表記法の乱用と見なします。しかし、再び、誰が私が最高であるディラックを批判します。$\delta(x)$

もちろん、これがディラックを正規分布のファミリーのメンバーにするかどうかは文化的な問題です。ここでは、そのように考えることが理にかなっている理由を挙げています。

いいえ、正規分布のサブクラスではありません。

混乱はディラック関数の表現の1つに起因すると思います。次のように定義されていることに注意してください。

$$\int_{-\infty}^\infty\delta(x)dx=1$$ $$\delta(x)=0,\forall x\ne 0$$

これは積分として定義されています。これはすばらしいことですが、積分ではなく関数表現で操作可能にする必要がある場合があります。したがって、人々はあらゆる種類の代替案を思い付き、そのうちの1つはガウス密度のように見えます：

$$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}\sigma}$$

ただし、これだけではありません。たとえば、

$$\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}, \forall x\in (-\pi,\pi)$$

したがって、ディラック関数をその積分定義の観点から考え、ガウシアンなどの関数表現を便利なツールとして使用するのが最善です。

更新@whuberの要点として、より適切な例は、ディラックのデルタのこの表現です。

$$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{-\frac{|x|}{\sigma}}}{2\sigma}$$

これはラプラシアン分布のように見えますか？では、ディラックのデルタをラプラシアン分布のサブクラスと考えるべきではないでしょうか。