ブートストラップベースの信頼区間

ブートストラップベースの信頼区間を勉強しているときに、私はかつて次の声明を読みました。

ブートストラップ分布が右に歪んでいる場合、ブートストラップベースの信頼区間には、エンドポイントをさらに右に移動する補正が組み込まれています。これは直観に反するように思えるかもしれませんが、正しいアクションです。

上記の声明の根底にあるロジックを理解しようとしています。

質問は、信頼区間の基本的な構築に関連しており、ブートストラップに関しては、使用されるブートストラップ方法によって答えが異なります。

次の設定を検討してください：は、（推定）標準偏差実数値パラメーター推定量であり、その後、通常の近似値は この信頼区間は、を満たすの セットとして導出されます ここで、は2.5％分位であり、は、の97.5％分位点です。$\hat{\theta}$$\theta$$\text{se}$$N(\theta, \text{se}^2)$

$$\hat{\theta} \pm 1.96 \text{se}.$$ $\theta$ $$z_{1} \leq \hat{\theta} - \theta \leq z_2$$ $z_1 = -1.96\text{se}$$z_2 = 1.96\text{se}$$N(0, \text{se}^2)$-分布。興味深い観察は、不等式を再配置すると、信頼区間が すなわち、それは、ある低い判断2.5％分位右エンドポイントと上部判断97.5％分位左エンドポイント。 $$\{\theta \mid \hat{\theta} - z_2 \leq \theta \leq \hat{\theta} - z_1 \} = [\hat{\theta} - z_2, \hat{\theta} - z_1].$$

のサンプリング分布が正規近似と比較して右に歪んでいる場合、適切なアクションは何ですか？右に歪んでいる場合、サンプリング分布の97.5％分位がである場合、適切なアクションは、左端点をさらに左に移動することです。つまり、上記の標準構造に固執する場合です。ブートストラップの標準的な使用法は、サンプリングの変位値を推定し、上記の構成で代わりにそれらを使用することです。$\hat{\theta}$$z_2 > 1.96\text{se}$$\pm 1.96 \text{se}$

ただし、ブートストラップで使用される別の標準構造はパーセンタイル間隔です。これは 上記の用語で。これは、サンプリング分布の2.5％分位から97.5％分位までの間隔の右歪サンプリング分布は、右歪信頼区間を意味します。上記の理由により、これはパーセンタイル間隔の直感に反する動作のように思えます。しかし、それらには他の美徳があり、例えば、単調なパラメータ変換の下では不変です。

$$[\hat{\theta} + z_1, \hat{\theta} + z_2].$$ $\hat{\theta}.$$\hat{\theta}$

Efronによって導入されたBCa（バイアス補正および加速）ブートストラップ間隔。たとえば、ペーパーBootstrap Confidence Intervalsを参照して、パーセンタイル間隔の特性を改善します。OPの投稿の引用を推測（およびgoogle）することしかできませんが、おそらくBCaが適切なコンテキストです。193ページの言及された論文からDiciccioとEfronを引用し、

次の引数は、パラメーターおよびだけでなく、BCa定義（2.3）をます。単調増加変換が存在すると仮定よう 通常のすべての選択のために配布されるが、おそらくバイアスと、及び非定数分散、 次に（2.3）はを観察した正確かつ正確な信頼限界を与えます。$a$$z_0$$\phi = m(\theta)$$\hat{\phi} = m(\hat{\theta})$$\theta$

$$\hat{\phi} \sim N(\phi - z_0 \sigma_{\phi}, \sigma_{\phi}^2), \quad \sigma_{\phi} = 1 + a \phi.$$ $\theta$$\hat{\theta}$

（2.3）は、BCa間隔の定義です。OPによって投稿された引用は、BCaが、右に歪んだサンプリング分布で信頼区間をさらに右にシフトできるという事実を参照する場合があります。これが一般的な意味での「正しいアクション」であるかどうかを判断することは困難ですが、DiciccioとEfronによれば、正しいカバレッジで信頼区間を生成するという意味で上記の設定では正しいです。ただし、単調変換の存在は少し注意が必要です。$m$