標準正規確率変数の二乗のPDF [閉じた]

pdfを見つけなければならないところに、この問題があります$Y = X^2$。すべてのI knowがあることである$X$分布がある$N(0,1)$。はどのような分布$Y = X^2$ですか？同じ$X$？PDFを見つけるにはどうすればよいですか？

あなたは確率論と統計学の最も有名な結果の一つにつまずいた。私は答えを書きますが、この質問はこのサイトで以前に尋ねられた（そして答えられた）と確信しています。

まず、PDFのことに注意してください$Y = X^2$と同じにすることはできません$X$として$Y$非負であろう。$Y$の分布を導出するには、3つの方法、つまりmgf手法、cdf手法、および密度変換手法を使用できます。さぁ、始めよう。

モーメント生成関数テクニック。

またはあなたが好きな特性関数テクニック。$Y=X^2$ mgfを見つける必要があります。期待値を計算する必要があります

$$E\left[e^{tX^2}\right]$$

無意識統計学の法則を使用して、私たちがしなければならないことは、$X$の分布にわたってこの積分を計算することだけです。したがって、計算する必要があります

$$\begin{align} E\left[e^{tX^2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{tx^2} e^{-\frac{x^2}{2}} dx &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\left( 1-2t \right)^{1/2}}{\left( 1-2t \right)^{1/2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \left(1-2t\right)^{-1/2} , \quad t<\frac{1}{2} \end{align}$$

最後の行では、積分を平均ゼロと分散1のガウス積分と比較しました$\frac{1}{\left(1-2t\right)}$。もちろん、これは実際の回線で統合されます。その結果で今何ができますか？さて、非常に複雑な逆変換を適用して、このMGFに対応するpdfを決定するか、単に1自由度のカイ2乗分布のMGFとして認識することができます。（カイ二乗分布は、α=rのガンマ分布の特殊なケースであることを思い出してください$\alpha = \frac{r}{2}$、$r$は自由度、$\beta = 2$）。

CDFテクニック

これはおそらくあなたができる最も簡単なことであり、コメントでGlen_bによって提案されています。この手法に従って、計算します

$$F_Y (y) = P(Y\leq y) = P(X^2 \leq y) = P(|X|\leq \sqrt{y})$$

分布関数は密度関数を定義するため、単純化された式を取得した後、$y$に関して微分してpdfを取得します。それから

$$\begin{align} F_Y (y) = P\left( |X|\leq \sqrt{y} \right) = P\left(-\sqrt{y} < X <\sqrt{y} \right) = \Phi\left(\sqrt{y}\right) - \Phi \left(- \sqrt{y}\right) \end{align}$$

ここで、$\Phi(.)$は標準正規変数のCDFを示します。$y$に関して微分すると、

$$f_Y(y) = F_Y^{\prime} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( \sqrt{y} \right) + \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( -\sqrt{y} \right) = \frac{1}{\sqrt{y}} \phi(\sqrt{y})$$

ここで、$\phi(.)$は標準正規変数のpdfであり、ゼロに関して対称であるという事実を使用しました。したがって

$$f_Y (y) = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y}{2}}, \quad 0<y<\infty$$

これは、1つの自由度を持つカイ2乗分布のpdfとして認識されます（これまでにパターンを見ているかもしれません）。

密度変換技術

この時点では、機能のために、なぜ我々は単に、あること、あなたが精通している形質転換技術を使用していない、不思議に思うかもしれません$Y = g(X)$私たちは、密度ことを持っている$Y$式で与えられます。

$$f_Y (y) = \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$$

以下のため$y$の範囲で$g$。残念ながら、この定理では変換が1対1である必要がありますが、ここでは明らかにそうではありません。実際、$X$ 2つの値は$Y$の同じ値になり、$g$は2次変換であることがわかります。したがって、この定理は適用されません。

$X$$Y= g(X)$$g$$Y$

$$f_Y (y) = \sum \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$$

ここで、合計はすべての逆関数で実行されます。この例はそれを明確にします。

For $y = x^2$, we have two inverse functions, namely $x = \pm \sqrt{y}$ with corresponding absolute Jacobian $\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{y}} }$ and so the corresponding pdf is found to be

$$f_Y (y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y/2}, \quad 0<y<\infty$$

the pdf of a chi-squared distribution with one degree of freedom. On a side note, I find this technique particularly useful as you no longer have to derive the CDF of the transformation. But of course, these are personal tastes.

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So you can go to bed tonight completely assured that the square of a standard normal random variable follows the chi-squared distribution with one degree of freedom.