指数関数系以外に、共役事前分布はどこから来るのでしょうか？

くださいすべての共役事前分布が指数分布族から来ていますか？そうでない場合、共役先験者がいる/作成することが知られている他の家族は何ですか？

たとえば、Christian Robert著の本「ベイズの選択」のセクション3.3.3で説明されているように、指数ファミリと共役事前分布の間には確かに狭い関連がありますが、特定の非指数ファミリには利用可能な共役事前分布があります。しかし、サンプルサイズが増加しない有限次元の十分な統計が存在するファミリであるため、これらを「準指数」と呼んでいます。

以下は、一様分布の例です。そのサポートは分布のパラメーターに依存するため、指数ファミリにはなりません（よく知られています）。

ここで、パレート分布は、上の均一分布のパラメーター事前共役です。$b$$[0,b]$

パラメータおよびのパレート分布の密度は のための及びさもなければ。$c>0$$% \alpha >0$

$$\begin{equation*} f(x)=\alpha c^{\alpha }x^{-\alpha -1} \end{equation*}$$ $x\geq c$$f(x)=0$

一様分布のパラメーターの事前分布は、およびパレート分布であり、 が 与えられ た場合のデータの可能性は、$b$$[0,b]$$c_{0}$$\alpha _{0}$

$$\begin{eqnarray*} \pi (b) &=& \left\{ \begin{array}{ll} \alpha _{0}c_{0}^{\alpha _{0}}b ^{-\alpha _{0}-1} & \quad \text{if } b \geq c_{0} \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array} \right. \\ &\propto &\left\{ \begin{array}{ll} b ^{-\alpha _{0}-1} & \quad \text{if }b \geq c_{0} \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array}% \right. \end{eqnarray*}$$ $y_{1},\ldots ,y_{n}$$b$ $$\begin{equation*} f\left( y |b\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \prod_{i=1}^{n}\frac{1}{b }=b ^{-n} & \quad \text{if }0\leq y_{i}\leq b \text{ for all }i=1,\ldots ,n \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array}% \right. \end{equation*}$$ 尤度と事前の積は正規化されていない事後です $$\begin{eqnarray*} \pi \left( b |y\right) &\propto &\pi (b )f\left( y |b\right) \\ &=&\left\{ \begin{array}{ll} \alpha _{0}c_{0}^{\alpha _{0}}b ^{-\alpha _{0}-1}b ^{-n} & \quad \text{if }b \geq c_{0}\text{ and }0\leq y_{i}\leq b \text{ for all }i=1,\ldots ,n \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array}% \right. \\ &\propto &\left\{ \begin{array}{ll} b ^{-\alpha _{0}-n-1} & \quad \text{if }b \geq c_{0}\text{ and }% 0\leq y_{i}\leq b \text{ for all }i=1,\ldots ,n \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array}% \right. \\ &\propto &\left\{ \begin{array}{ll} b ^{-\alpha _{1}-1} & \quad \text{if }b \geq c_{1} \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array}% \right. \end{eqnarray*}$$ と $$\begin{eqnarray*} \alpha _{1} &=&\alpha _{0}+n \\ c_{1} &=&\max\bigl(\max_{i}y_{i},c_0\bigr). \end{eqnarray*}$$ したがって、事後はパレート分布です。