「野球のピタゴラスの定理」の背後にある実際の統計はありますか？

私はサーベルメトリクス、特にウェインウィンストンのMathleticsに関する本を読んでいます。最初の章では、チームの勝利率を予測するために使用できる数量を紹介しています： と彼は、勝利率を予測するために使用することができる途中シーズンを通じて、以下のことをほのめかしているようだ、より良いよりシーズン前半の勝率。彼は式を一般化し ここで、は得点と得点の比率です。次に彼は、3つのスポーツで勝ったゲームの割合を予測するのに最適な指数を見つけ、を見つけ

$$\frac{\text{Points Scored}^2 }{\text{Points Scored}^2 + \text{Points Against}^2} \approx \text{% Games Won},$$ $$\frac{R^{\text{exp}}}{R^{\text{exp}} + 1},$$ $R$ $$\text{Baseball: exp} \approx 2 ,$$ $$\text{Football: exp} \approx 2.7,$$ $$\text{Basketball: exp} \approx 14.$$ しかし、獲得したゲームの％を、各ゲーム得点と対点で表すことができます。具体的には、ゲームウォンポイントが獲得ゲームの正確画分である、に対して点よりも大きい： ここで、はインジケーター関数です。$i$$PS_i$$PA_i$ $$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n I\left (PS_i > PA_i\right ),$$ $I$

したがって、私の質問は次のとおりです：

$$\frac{ \left ( \sum_{i=1}^n PS_i \right )^x }{ \left ( \sum_{i=1}^nPS_i \right )^x + \left ( \sum_{i = 1}^n PA_i \right )^x } \approx \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n I\left (PS_i > PA_i \right )$$

のMLEを見つける分析的な方法はありますか？私がナイーブな間違いを犯した場合、私を許してください、私はほとんど自分自身の統計を独学しています。$x$

「ピタゴラスの法則」の数学的/統計的根拠は、ミラー（2007）で検討されました。このペーパーでは、各ゲームで各チームが得点したランの数が、共通の形状パラメーターで異なるスケールパラメーターのワイブル分布に従う場合、ピタゴラスルールの一般化された形式（一般化されたパワー）が予測として現れることを示しました勝率。$\gamma$$\gamma$

その論文はまた、2004年のアメリカンリーグでプレーしている14チームの野球データに、ポジティブワイブルモデルを当てはめています。結果は、さまざまな推定手法を使用した、妥当なモデルフィットを示してい。これは、一般化されたピタゴラスのルールが予測勝敗の妥当な予測手法である可能性があることを示唆していますが、パワーパラメーターは、Winstonの本に記載されている2乗値よりも少し小さいはずです。$\hat{\gamma} \approx 1.74 \text{-} 1.82$

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Miller、S.（2007）野球のピタゴラスウォンロス計算式の導出。チャンス 20（1）、40-48ページ。