ランダムに重複する間隔

次の問題で分析式を見つけるにはどうすればよいですか？ $D(n,l,L)$

長さ「バー」を間隔にランダムにドロップします。「バー」はオーバーラップできます。少なくとも1つの「バー」が占める間隔の平均全長を見つけたいのですが。 $n$ $l$ $[0,L]$ $D$ $[0,L]$

「低密度」の制限では、オーバーラップは無視でき、です。「高密度」の限界では、は近づきます。しかし、どうすれば一般式を取得できますか？これは非常に基本的な統計上の問題になるはずですが、フォーラムで説明的な解決策を見つけることができませんでした。 $D = n\cdot l$ $D$ $L$ $D$

どんな助けでも大歓迎です。

バーは互いにランダムに（統計的に独立して）ドロップされることに注意してください。

probability distributions

— ダニエル
ソース

これはコースや教科書の質問ですか？その場合は、[self-study]タグを追加してWikiをお読みください。

— ガン-モニカを回復

いいえ、ちがいます。コンピュータでサンプリングすることにより、平均占有長を簡単に計算できますが、問題を解決するには理論的なアプローチが必要であるという基本的な問題があるようです。私の試みはすべて失敗したので、それをどうやってやるかに興味がありました。

— ダニエル

バーを[0、L]に「ドロップ」するためのモデルは何ですか？それらが端に突き出る可能性はありますか？編集：あなたの絵と答えは、それがそうであることを示唆しています。

— エイドリアン

確率検索与えられたことを交差点である-覆われていない IIDイベントを。その場合、カバーされていない部分の予想される長さは、単にです。

p (x) d x

$p(x)dx$

d x

$dx$

n

$n$

\int_{0}^{L} p (x) d x

$\int_0^L p(x)dx$

— AS

| ---------------- || ---------------- | -------------- --------------------- | ---------------- || ---------- ------ |

$x_0 - l/2\ \ \ \ \ x_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0 + l/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0+L - l/2 \ \ \ \ x_0+L \ \ \ \ x_0 + L + l/2$

内の点が1つのドロップされたバーによって占有される確率は、 $[x_0,x_0 + L]$

$x \in [x_0, x_0 + l/2): \ P_{o} = \frac{1}{L}(x-x_0+l/2)$

$x \in [x_0 + l/2, x_0 + L - l/2]: \ P_{o} = \frac{l}{L}$

$x \in (x_0 + L - l/2, x_0 + L]: \ P_{o} = \frac{1}{L}(-x+x_0+l/2+L)$ 。

同様に、空になる確率はです。ドロップされたバーがになった後、特定のポイントがまだ空であり、占有される確率は、 $P_{e} = 1 - P_o$ $n$ $P_e^{n}$

$P_{o,n} = 1 - (1-P_o)^n = 1- (1-\frac{nP_o}{n})^n \approx 1 - e^{-nP_o}$

大きな。 $n$

次に、ランダムな「バードロップ」後のの平均占有長は、 $[x_0,x_0 + L]$ $n$

$\langle D \rangle = L\langle P_{o,n} \rangle = \int_{x_0}^{x_0+L} P_{o,n}dx$ 。

— ダニエル
ソース

順調に進んでいますが、さらに注意が必要な兆候があります。おそらく最も重要なことは、任意の2つのポイントに関連付けられたイベントが独立していないという事実に関係しています。それでは、確率を乗算することを正当化するものは何でしょうか。また、表現が間違っていると思います。たとえば、場合を考えます。図面から、棒の左端がの間隔で均一に分布していると想定しているように見えます。したがって、がカバーされる可能性はであり、とは等しくありません。

P_{0}

$P_0$

l = L = 1

$l=L=1$

[- l, L] = [- 1, 1]

$[-l, L]=[-1,1]$

0

$0$

1 / 2

$1/2$

l / L = 1

$l/L=1$

— whuber

ヒントをありがとう。あなたはその通りです、私はランダムな「ドローイング」の間にゼロの相関があることになっていると書いておくべきでしたそして、あなたもそうです、上記の解決策はバーが突き出ることを許可されていない場合にのみ有効です。彼らが突き出るのを許すとき、問題はどのように解決できますか？

— Daniel

私のポイントは、任意のバーがランダムに独立してドロップされた場合でも、「このバーはポイントカバーする」と「この同じバーはポイントカバーする」というイベントは強く相互依存しているということです。特に、場合、同時に発生することはありません。これを厳密に処理する1つの方法は、確率を期待値に関連付けることです。

x, y \in [0, L]

$x,y\in [0,L]$

x

$x$

y

$y$

| x - y | > l

$|x-y|\gt l$

— whuber

ここで、境界の影響について検討しました。区間内の2つの異なるポイントの占有には相関関係があるということは理解できますが、それがソリューションにどのように影響するかはわかりません。

— Daniel