サイズデッキから枚のカードを引くときに目に見えないカードの予想数

枚のカードのデッキがあります。そこからランダムにランダムにカードを引いて差し替えます。ドローした後、決して選択されなかったと予想されるカードの数はいくつですか？$n$$2n$

この質問は、問題2.12のパート2です。

M. MitzenmacherおよびE. Upfal、Probability and Computing：Randomized Algorithms and Probabilistic Analysis、Cambridge University Press、2005年。

また、それが価値があることについては、これは宿題の問題ではありません。それは独学で、私は行き詰まっています。

これまでの私の答えは：

レッツ後に見られる個別のカードの数も番目のドロー。次に：$X_i$$i$

$E[X_i] = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k (\frac{k}{n}P(X_{i-1}=k) + \frac{n-k-1}{n} P(X_{i-1}=k-1))$

ここでの考え方は、引くたびに、見たことのあるカードを引くか、見たことのないカードを引くかのいずれかであり、これを再帰的に定義できるということです。

最後に、ドロー後に何が見られなかったかという質問に対する答えは、ます。$2n$$n-E[X_{2n}]$

これは正しいと思いますが、もっと簡単な解決策があるはずです。

どんな助けでも大歓迎です。

ヒント： どの引き分けでも、カードが選択されない確率はです。また、置換して描画しているので、各描画は他の描画から独立していると言えると思います。つまり、ドローでカードが選択されない確率は...$\frac{n-1}{n}$$2n$

ヒントをくれたマイクに感謝します。

これが私が思いついたものです。

してみましょうベルヌーイ確率変数あればカードが描かれていません。次に、ですが、はすべてので同じなので、ます。$X_i$$X_i = 1$$i^{th}$$p_i = P(X_i=1) = (\frac{n-1}{n})^{2n}$$p_i$$i$$p=p_i$

ここで、をドロー後にドローされなかったカードの数とします。$\displaystyle X = \sum_{i=1}^n X_i$$2n$

次に、$\displaystyle E[X] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \sum_{i=1}^n E[X_i] = \sum_{i=1}^n p = np$

そしてそれは私が思うことです。

これは、理論を検証するためのRコードです。

evCards <- function(n) 
{
    iter <- 10000;
    cards <- 1:n;
    result <- 0;
    for (i in 1:iter) {
        draws <- sample(cards,2*n,T);
        uniqueDraws <- unique(draws,F);
        noUnique <- length(uniqueDraws);
        noNotSeen <- n - noUnique;
        result <- result + noNotSeen;
    }
    simulAvg <- result/iter;
    theoryAvg <- n * ((n-1)/n)^(2*n);
    output <-list(simulAvg=simulAvg,theoryAvg=theoryAvg);
    return (output);
}