二項分布のpを推定する際の分散

二項分布から派生したpの分散を計算するにはどうすればよいですか？n枚のコインを裏返してk枚の頭を獲得したとします。pをk / nとして推定できますが、その推定の分散をどのように計算できますか？

試行回数が異なるポイント間を比較するときに比率の推定値の変動を制御できるように、これに興味があります。nが大きい場合のpの推定値の方が確実なので、推定値の信頼性をモデル化できるようにしたいと思います。

前もって感謝します！

例：

40/100。pのMLEは0.4ですが、pの分散は何ですか？
4/10。MLEは0.4のままですが、推定値の信頼性が低くなるため、pの分散が大きくなるはずです。

probability variance binomial

— ジョーティス
ソース

$X$ $\text{Binomial}(n, p)$ $p$ $\hat{p} = X/n$

$n$ $X = \sum_{i=1}^n Y_i$ $Y_i\sim\text{Bernoulli}(p)$

$\hat{p}$

\begin{aligned} Var [\hat{p}] & = Var [\frac{1}{ん} Σ_{私 = 1}^{ん} Y_{私}] \\ = \frac{1}{ん^{2}} Σ_{私 = 1}^{ん} V a r [Y_{私}] \\ = \frac{1}{ん^{2}} Σ_{私 = 1}^{ん} p （ 1 - p ） \\ = \frac{p （ 1 - p ）}{ん} \end{aligned}

$\begin{align*} \text{Var}[\hat{p}] &= \text{Var}\left[\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i\right]\\ &= \dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n Var[Y_i]\\ &= \dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n p(1-p)\\ &= \dfrac{p(1-p)}{n} \end{align*}$

$n$ $p$ $p$ $p=0.5$

一部の信頼区間については、二項信頼区間を確認できます。

— bdeonovic
ソース

リンクは私が探しているものと似ていると思いますが、pの分散と同等の値が必要です。どうすれば信頼区間からそれを得ることができますか？

— Jautis、

私は元の回答を編集して、あなたの質問により厳密に回答しました。

— bdeonovic

分散の式にpが必要であるが、pの推定しか得られないことにどう対処しますか？

— Ramon Martinez

などの分散安定化変換の使用を検討できます。

a r c s i n (\sqrt{\hat{p}})

$arcsin(\sqrt{\hat{p}})$

\frac{1}{4 n}

$\tfrac{1}{4n}$