インテグラルで多くのことをしたようには聞こえないので、私はこれを、何が起こるかを伝える必要がある非常に基本的な（そして少し手を振る）方法で説明します。ただし、Stieltjes積分の定義を確認することにより、リマインダーから始めたい場合があります。たとえば、MathworldやWikipediaを参照してください。積分を適切に行うには、定義の制限を検討する必要があります。そうでなければ明白でない場合は、それが実際に行う必要があることです。
分布が純粋に離散的である場合、は、であるジャンプを除いて0です。したがって、離散的ケースの場合、積分は文字通り通常の合計です。dFp(x)
例として、ベルヌーイ（0.4）を考えます。
したがって、この例では、です。（それは単に「価値が等しい」だけでなく、「これらは同じものを表現するための異なる方法です」。おそらくより適切な記号を使用する必要があります。）E(X)=∫∞−∞xdF=∑xxp(x)
したがって、ここでははどこでもが、（は）と（）です。したがって、その式はです。dF0x=0dF0.6x=10.40⋅0.6+1⋅0.4
離散式と連続式を統一することは素晴らしいですが、その価値の大部分が私の頭に浮かぶのは、実際にはそうではありません。それが離散確率変数も連続確率変数もない場合に適用されるという事実にはより多くの価値があると思います-実際のデータで遭遇するものである場合が多いので、難解な理論上の問題ではありません。これらの「離散的でも連続的でもない」ケース、および離散的で連続的な特殊なケースをすべて同時にスムーズに処理できる表記があると、そこに本当のメリットがあります。
たとえば、特定の月と場所の毎日の降水量の分布ではなく、おそらくゼロの雨の確率とゼロ以外の雨の量が対数正規（ここで、、および）（これは、「ゼロ膨張した対数正規」モデルと呼ばれる場合があります）0.6(μ,σ2)μ=1.384σ=1.823
次に、この場合、期待値の積分、は、離散定義のように機能するため、非常に簡単に処理できます。ジャンプ時とジャンプ時（ジャンプ時にを追加するだけですにより、積分にが追加されこれは、すべての確率が）、この場合、超えるすべての場所（関数はStieltjesが通常のリーマンと同じであることを十分に理解してください）残りが以上のリーマン積分のように機能しますが、が対数正規（）の場合よりも小さいことを覚えておいてくださいE(X)=∫∞−∞xdFx.p(x)00.6x=00x⋅f(x)0dF0は、純粋な対数正規累積分布関数と比較して「押しつぶされている」ことがわかります。ここでは、を超える確率（）を正確に説明しています。F0.40
もちろん、これは以外の場合にもうまく機能します。何が起こっているのかを示すために、単純なケースを取り上げています。（whuber がコメントの中で良い例を指摘しました。彼は、単純ではない問題に対してMGF計算を行い、分布は最終的に混合分布になります）g(x)=x
これらの非常に優れた関数（Stieltjesでカバーされるケースのサブセットである、連続であるRiemannのようにそれらを扱うことができる）がある場合でも、そのような混合物には（単に「離散」または「連続」ではなく）無限のケースがあります。 ）この1つの表記で処理できます。
さまざまな結果を表示または議論するためにこの積分を広く使用する有用なリファレンスは、統計の高度な理論（ケンドールとスチュアート、またはより最近の版では、スチュアートとオード）です。タイトルはあなたを怖がらせないでください、それは非常に読みやすい本です。
したがって、たとえばチェビシェフの不等式を見ながら積分をいじると、離散ケースと連続ケースが同時に発生するだけではなく、Stieltjes積分が機能する分布がすべてカバーされます。 -だから、もしあなたがチェビシェフで何が起こるか疑問に思っているなら、たとえば降雨量1と言ったような分布をしている場合、それはすべて同じ開発によって処理されます。そして明日なら、あなたの友人はゼロワンインフレートされたベータで現れます。まあ、あなたもすでにそれをカバーしています。等々 ...
[積分の意味をすぐに理解できない状況に陥った場合は、定義に戻り、それに従ってください。]
（この素敵な積分は、統計的な目的のために、一般にルベーグまたはレスベグ・スティールチェス積分に対して、さらに幅広い状況を処理できるもので置き換えることができます）