上限が別の連続均一RVである連続均一RVの分布

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場合と、そして、私が言うことができる $X \sim U(a, b)$ $Y \sim U(a, X)$ $Y \sim U(a, b)?$

制限のある連続的な均一分布について話している。証明（または反証！）をいただければ幸いです。 $[a, b]$

uniform distributions

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いいえ、そうではありません。Rではhist(runif(1e4,0,runif(1e4)))、

Y

$Y$ が確かに均一に分布していないことをかなりはっきりと示しています。（難しいことではない証明を求めたので、これをコメントとして投稿していますが、正直に言うと、歪んだヒストグラムを考えると、証明は必要ないと思います...）

— Stephan Kolassa

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a = 0, b = 1

$a=0,b=1$

y \in [0, 1]

$y\in[0,1]$

Pr (Y \leq y) = y / X

$\Pr(Y\le y)=y/X$

X \geq y

$X\ge y$

0

$0$

Pr (X \geq y) = 1 - y

$\Pr(X\ge y)=1-y$

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の分布を分析的に導出できます。最初に、一様分布に従うのはであることに注意してください。 $Y$ $Y|X$

f （ y | バツ ） = U （ a 、 バツ ）

$f\left(y|x \right) = U(a, X)$

など

\begin{aligned} f （ y ） = \int_{- \infty}^{\infty} f （ y | バツ ） f （ バツ ） d バツ & = \int_{y}^{b} \frac{1}{バツ - a} \frac{1}{b - a} d バツ \\ = \frac{1}{b - a} \int_{y}^{b} \frac{1}{バツ - a} d バツ \\ = \frac{1}{b - a} [ログ （ b - a ） - ログ （ y - a ）] 、 a < y < b \end{aligned}

$\begin{align} f(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y|x) f(x) dx & = \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} \frac{1}{b-a} dx \\ & = \frac{1}{b-a} \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} dx \\ &= \frac{1}{b-a} \left[ \log(b-a)-\log(y-a) \right] ,\quad a<y<b \end{align}$

これはために一様分布ではありません。これは、分布のシミュレーション密度が、先ほど計算したものでオーバーレイされたものです。 $\log(y-a)$ $U(0,1)$

y <- runif(1000, 0, runif(1000,0,1))
hist(y, prob =T)
curve( -log(x), add = TRUE, lwd = 2)

— ジョンK
ソース

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絶対にありません。

簡単にするために定義します。 $a = 0, b = 1$

その後

$P(Y > 0.5) = P(Y > 0.5 | X > 0.5)P(X > 0.5)$

$< P(X< 0.5) = 0.5$

厳密な不等式のため、 Unif（0,1）にすることはできません。 $Y \sim$

— クリフAB
ソース