間隔の比率分布とサンプルの意味は何ですか？

レッツ平均でIID指数確率変数のサンプルで、および聞かせて、このサンプルから順序統計こと。ましょう。 $X_1,\dots,X_n$ $\beta$ $X_{(1)},\dots,X_{(n)}$ $\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$

間隔を定義各も指数関数的であり、平均がことを示すことができます。

W_{i} = X_{(i + 1)} - X_{(i)} \forall 1 \leq i \leq n - 1 .

$W_i=X_{(i+1)}-X_{(i)}\ \forall\ 1 \leq i \leq n-1\,.$

W_{i}

$W_i$

β_{i} = \frac{β}{n - i}

$\beta_i=\frac{\beta}{n-i}$

質問：が既知で負でない場合、どのように見つけますか？ $\mathbb{P}\left( \frac{W_i}{\bar X} > t \right)$ $t$

試行：これは等しいことを知ってい $1 - F_{W_i}\left(t \bar X\right)$ 。したがって、私は次のような総確率の法則を使用しました：

P (W_{i} > t \bar{X}) = 1 - F_{W_{i}} (t \bar{X}) = 1 - \int_{0}^{\infty} F_{W_{i}} (t s) f_{\bar{X}} (s) d s,

$\mathbb{P}\left( W_i > t \bar X \right) = 1 - F_{W_i}\left( t \bar X \right) = 1 - \int_0^\infty F_{W_i}(ts)f_{\bar X}(s) \mathrm{d}s \,,$

乱雑に変わりますが、扱いやすい統合だと思います。

私はここで正しい軌道に乗っていますか？これは総確率の法則の有効な使用ですか？

別のアプローチは、差の分布を見ることかもしれません：

P (W_{i} - t \bar{X} > 0)

$\mathbb{P}\left( W_i - t \bar X > 0\right)$

または、合計を分解することもできます：

P (W_{i} - t \bar{X} > 0) = P ((X_{(i + 1)} - X_{(i)}) + \frac{t}{n} (X_{(1)} + \dots + X_{(n)}))

$\mathbb{P}\left( W_i - t \bar X > 0 \right) = P \left( \left(X_{(i+1)} - X_{(i)}\right) + \frac{t}{n}\left(X_{(1)} + \dots + X_{(n)} \right) \right)$

指数関数的な場合の解決策は素晴らしいですが、分布に対するある種の一般的な制約がさらに良いでしょう。あるいは、少なくとも、その瞬間は、チェビシェフとマルコフの不等式を与えるのに十分でしょう。

更新：最初のメソッドからの積分です：

\begin{aligned} 1 - \int_{0}^{\infty} (1 - \exp (- \frac{t s}{β_{i}})) (\frac{1}{Γ (n) β^{n}} s^{n - 1} \exp (- β s)) d s \\ 1 - \int_{0}^{\infty} (1 - \exp (- \frac{(n - i) t s}{β})) (\frac{1}{Γ (n) β^{n}} s^{n - 1} \exp (- β s)) d s \end{aligned}

$\begin{align} 1 - \int_0^\infty \left( 1 - \exp \left( -\frac{ts}{\beta_i} \right) \right) \left( \frac{1}{\Gamma(n)\beta^n} s^{n-1} \exp \left( -\beta s \right) \right) \mathrm{d}s \\ 1 - \int_0^\infty \left( 1 - \exp \left( -\frac{(n-i)ts}{\beta} \right) \right) \left( \frac{1}{\Gamma(n)\beta^n} s^{n-1} \exp \left( -\beta s \right) \right) \mathrm{d}s \end{align}$

私はしばらくそれをいじっていて、どこに行くべきかわかりません。

— シャドウトーカー
ソース

括弧の項を分配すると、得られる積分は比較的簡単に見えます。変数を変更すると、ガンマ関数が表示されるようになります。

— Alex R.

@AlexRは確かにそうですが、途中まで行った後、それが0と1の間に制限されないのではないかと疑い始めました。問題を正しく設定したことの確認をもっと探しています。私は自分自身不可欠と動けなくなる場合は、私はMath.SEに頼むよ

— shadowtalker

ここでの問題は、独立していない確率変数に関連するイベントがあることです。独立した増分を比較するようにイベントを操作することにより、問題を単純化して解決できます。これを行うには、最初に、場合、各注文統計は次のように記述できることに注意してください。 $X_1, ..., X_N \sim \text{IID Exp}(\beta)$

X_{(k)} = β \sum_{i = 1}^{k} \frac{Z_{i}}{n - i + 1},

$X_{(k)} = \beta \sum_{i=1}^{k} \frac{Z_i}{n-i+1},$

ここで、（たとえば、Renyi 1953、David and Nagaraja 2003を参照）。これにより、と書くことができ、標本平均を次のように書くことができます。 $Z_1, Z_2, ..., Z_n \sim \text{IID Exp} (1)$ $W_k = \beta Z_{k+1} / (n-k)$

\begin{aligned} \bar{X} \equiv \frac{β}{n} \sum_{k = 1}^{n} X_{(k)} & = \frac{β}{n} \sum_{k = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{k} \frac{Z_{i}}{n - i + 1} \\ = \frac{β}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = i}^{n} \frac{Z_{i}}{n - i + 1} \\ = \frac{β}{n} \sum_{i = 1}^{n} Z_{i} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \bar{X} \equiv \frac{\beta }{n} \sum_{k=1}^n X_{(k)} &= \frac{\beta }{n} \sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^k \frac{Z_i}{n-i+1} \\ &= \frac{\beta }{n} \sum_{i=1}^n \sum_{k=i}^n \frac{Z_i}{n-i+1} \\ &= \frac{\beta }{n} \sum_{i=1}^n Z_i. \end{aligned} \end{equation}$

分析を容易にするために、数量を定義します。

a \equiv \frac{t (n - k)}{n - t (n - k)} .

$a \equiv \frac{t(n-k)}{n-t(n-k)}.$

場合次のようになります。 $a > 0$

\begin{aligned} P (W_{k} ⩾ t \bar{X}) & = P (\frac{Z_{k + 1}}{n - k} ⩾ \frac{t}{n} \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}) \\ = P (\frac{n}{n - k} \cdot Z_{k + 1} ⩾ t \sum_{i = 1}^{k} Z_{i}) \\ = P ((\frac{n}{n - k} - t) Z_{k + 1} ⩾ t \sum_{i \neq k} Z_{i}) \\ = P ((\frac{n}{n - k} - t) Z ⩾ t G) = P (Z ⩾ a G), \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(W_k \geqslant t \bar{X}) &= \mathbb{P} \left( \frac{Z_{k+1}}{n-k} \geqslant \frac{t}{n} \sum_{i=1}^n Z_i \right) \\ &= \mathbb{P} \left( \frac{n}{n-k} \cdot Z_{k+1} \geqslant t \sum_{i = 1}^k Z_i \right) \\ &= \mathbb{P} \left( \left( \frac{n}{n-k} - t \right) Z_{k+1} \geqslant t \sum_{i \neq k} Z_i \right) \\ &= \mathbb{P} \left( \left( \frac{n}{n-k} - t \right) Z \geqslant t G \right) = \mathbb{P} \left( Z \geqslant a G \right), \end{aligned} \end{equation}$

ここで、およびは独立した確率変数です。の自明なケースでは、ます。非自明なケースのために我々は、関心のある確率です。 $Z \sim \text{Exp} (1)$ $G \sim \text{Ga}(n-1, 1)$ $t \geqslant n / (n-k)$ $\mathbb{P}(W_k \geqslant t \bar{X}) = 0$ $t < n / (n-k)$ $a>0$

\begin{aligned} P （ W_{k} ⩾ t \bar{バツ} ） & = \int_{0}^{\infty} ガ （ g | ん - 1 、 1 ） \int_{a g}^{\infty} Exp （ z | 1 ） d z d g \\ = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{Γ （ ん - 1 ）} g^{ん - 2} \exp （ - g ） \int_{a g}^{\infty} \exp （ - z ） d z d g \\ = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{Γ （ ん - 1 ）} g^{ん - 2} \exp （ - g ） （ 1 - \exp （ a g ） ） d g \\ = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{Γ （ ん - 1 ）} g^{ん - 2} \exp （ - g ） d g - \int_{0}^{\infty} \frac{1}{Γ （ ん - 1 ）} g^{ん - 2} \exp （ - （ a + 1 ） g ） d g \\ = 1 - （ a + 1 ）^{- （ ん - 1 ）} \\ = 1 - {（ 1 - \frac{ん - k}{ん} \cdot t ）}^{ん - 1} 。 \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(W_k \geqslant t \bar{X}) &= \int\limits_0^\infty \text{Ga} (g| n-1, 1 ) \int\limits_{ag}^\infty \text{Exp}(z|1) dz dg \\ &= \int\limits_0^\infty \frac{1}{\Gamma{(n-1)}} g^{n-2} \exp{(-g)} \int\limits_{ag}^\infty \exp{(-z)} dz dg \\ &= \int\limits_0^\infty \frac{1}{\Gamma{(n-1)}} g^{n-2} \exp{(-g)} \left( 1 - \exp (ag) \right) dg \\ &= \int\limits_0^\infty \frac{1}{\Gamma{(n-1)}} g^{n-2} \exp{(-g)} dg - \int\limits_0^\infty \frac{1}{\Gamma{(n-1)}} g^{n-2} \exp{(-(a+1)g)} dg \\ &= 1 - (a+1)^{-(n-1)} \\ &= 1 - \left( 1- \frac{n-k}{n} \cdot t \right)^{n-1}. \end{aligned} \end{equation}$

この答えは直感的に合理的です。この確率はで厳密に減少しており、場合は単位確率、場合はゼロ確率です。 $t$ $t=0$ $t = \frac{n}{n-k}$

— ベン-モニカの復活
ソース