電球色問題

まず、次の小さな問題をご覧ください。

2つの区別できない電球AとBがあります。Aは、確率.8で赤色のライトを、確率.2で青色のライトを点滅させます。B .2と青.8の赤。これで.5確率で、AまたはBのいずれかが表示されます。電球の色を観察して、どの電球であるかを正確に推測する（正しい推測の確率を最大にする）必要があります。ただし、観察を始める前に、それを何回観察するかを決定する必要があります（たとえば、n回、それからn回点滅して観察して推測します）。フラッシュが独立しているとします。

直観的には、観察が多いほど、可能性は高くなると思います。奇妙なことに、n = 2はn = 1を改善せず、n = 4はn = 3を改善しないことを示すのは簡単な計算です。私はさらに進めませんでしたが、n = 2kはn = 2k-1を改善しないと推測します。一般的なケースでは証明できません。しかし、それは本当ですか？もしそうなら、どのように結果を直感的に理解できますか？

あなたは正しいです：を改善しないこの対称の場合には。$n=2k$$n=2k-1$

明らかに最適な戦略は、赤と青の点滅の数を見て、どちらの色がより多く現れるかに従ってAまたはBを選択することです。それぞれに同じ数が表示される場合、正しい状況になる可能性はであるため、推測したとおりの違いはありません。$0.5$

フラッシュ後に1色の過半数が存在する場合、過半数は偶数かつ少なくとも2である必要があります。そのため、フラッシュ後にその色も少なくとも1の過半数になります。フラッシュの後に等値性がある場合、フラッシュの後に過半数の色を選択することは、この状況における他の決定ルールと同じです。したがって、フラッシュの数が偶数の場合、最後のフラッシュは、推測の変化を正しく改善するのに役立ちません。 $2k$$2k-1$$2k$$2k-1$

厳密に言うと、この問題は結局、赤いフラッシュの数を観察することになります。 $X$ 二項式のどちらか $\mathcal{B}(n,.8)$ （A）または二項式 $\mathcal{B}(n,.8)$ （B）、確率あり $0.5$それぞれのため。したがって、電球Aを選択する確率は、ベイズの定理によって与えられます。

$$\mathbb{P}(b=A|X=x) = \dfrac{\mathbb{P}(X=x|b=A)}{\mathbb{P}(X=x|b=A)+\mathbb{P}(X=x|b=B)}$$ これは したがって、（ resp。n）。したがって、場合、Aを正しく選択する確率は $$\mathbb{P}(b=A|X=x) = \dfrac{{n \choose x} 0.8^x 0.2^{n-x}}{{n \choose x} 0.8^x 0.2^{n-x}+{n \choose x} 0.2^x 0.8^{n-x}}=\dfrac{1}{1+4^{n-2x}}$$ $n-2x<0$$n-2x>0$$n=2k-1$ $$\mathbb{P}(X>(2k-1)/2|b=A) = \mathbb{P}(X\ge k|b=A) =\sum_{x=k}^{2k-1} {2k-1 \choose x} 0.8^x 0.2^{2k-1-x}\,.$$