共同正規性は、正常なランダム変数の合計が正常であるための必要条件ですか？

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関連する質問に対する私のこの回答に続くコメントで、ユーザーssdecontrolとGlen_b は、合計正規性を主張するためにと共同正規性が必要かどうかを尋ねました。ジョイントの正規性が十分であることは、もちろんよく知られています。この補足的な質問はそこでは取り上げられておらず、おそらくそれ自体で検討する価値があります。 $X$ $Y$ $X+Y$

共同正規性は限界正規性を意味するので、私は尋ねます

が通常のランダム変数であるが、とが一緒に通常のランダム変数ではないような通常のランダム変数とが存在しますか？ $X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

場合はと正規分布を持つ必要はありません、正常な確率変数を簡単に見つけることができます。1つの例は、以前の回答にあります（リンクは上記のとおりです）。上記のハイライトされた質問に対する答えは「はい」であると信じており、この質問に対する答えとして例を（私が思うに）掲載しています。 $X$ $Y$

— ディリップ・サルワテ
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2

退化した分布にどう対処しますか？たとえば、

X

$X$ が標準正規分布で

Y = - 2 X

$Y=-2X$ 場合、

X

$X$ と

結合分布は

Y

$Y$ 縮退正規分布であり、

X + Y

$X+Y$ は標準正規分布です。

— ブライアンボーチャーズ

@BrianBorchers

X

$X$ と

Y = - 2 X

$Y = -2X$ は、あなたが言うように分布が縮退していても、一緒に正規確率変数です。ジョイントの正規性の標準的な定義は、

が

すべての選択に対してノーマルである場合

X

$X$ と

Y

$Y$ はジョイントノーマルです。ここで、

a X + b Y

$aX+bY$

(a, b)

$(a,b)$

(a, b) = (0, 0)

$(a,b) = (0,0)$ これは縮退したケースであり、それでも礼儀として通常のランダム変数と呼ばれます。

— ディリップサルワテ16年

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ましょう $U,V$ IIDである $N(0,1)$ 。

次に $(U,V) \to (X,Y)$ を次のように変換します。

最初の象限（つまり、 $U>0,V>0$ ）では、 $X=\max(U,V)$ および $Y = \min(U,V)$ ます。

他の四分円については、原点を中心にこのマッピングを回転させます。

結果の二変量分布は次のようになります（上から見た図）：

$\hspace{1.5 cm}$

-紫色は確率が2倍の領域を表し、白い領域は確率のない領域を表します。黒い円は一定の密度の輪郭です円上のどこでも $(U,V)$ 、各色付き領域内 $(X,Y)$ ）。

対称性により、 $X$ と両方 $Y$ が標準法線です（垂直線を見下ろすか、水平線に沿って見ると、水平線または垂直線が交差する軸を超えて反転しているとみなすことができる白い点ごとに紫色の点があります）
しかし $(X,Y)$ は明らかに二変量正規ではありません。
である（等価的に、一定の線に沿って見てとは、我々は1で説明したものと対称類似を持っていることがわかるが、約今回ライン） $X+Y = U+V$ $\sim N(0,2)$ $X+Y$ $Y=X$

— Glen_b -Reinstate Monica
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1

+1およびAccept; この構造は、私自身の答えの構造よりもはるかに優れています！

— ディリップサルワテ

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共同連続確率変数検討ジョイント密度関数と $U, V, W$ はここで、は標準の標準密度関数を示します）。

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

、およびが従属ランダム変数であることは明らかです。また、それらが一緒に通常のランダム変数ではないことも明らかです。ただし、3つのペアはすべて、ペアごとに独立したランダム変数です。実際、独立した標準正規ランダム変数（したがって、ペアごとに結合した正規ランダム変数）です。要するに、 $U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$ は、ペアワイズ独立ではあるが、相互に独立ではない通常のランダム変数の例です。詳細については、私の答えをご覧ください。

ペアごとの独立性により、、およびすべて分散ゼロ平均正規確率変数であることに注意してください。ここで、を定義し、も分散ゼロ平均正規確率変数であることに注意してください。また、 $U+V, U+W$ $V-W$ $2$

\begin{matrix} (2) & X = U + W, Y = V - W \end{matrix}

$X = U+W, ~Y = V-W \tag{2}$

X + Y = U + V

$X+Y = U+V$

2

$2$

であるため、

と

は従属および相関のあるランダム変数です。

cov (X, Y) = - var (W) = - 1

$\operatorname{cov}(X,Y) = -\operatorname{var}(W) = -1$

X

$X$

Y

$Y$

とは（相関した）正規確率変数であり、共同では正規ではありませんが、合計が正規確率変数であるという性質を持っています。 $X$ $Y$ $X+Y$

別の言い方をすれば、ジョイント正規性は、通常のランダム変数の合計の正規性を主張するための十分な条件ですが、それは必要条件ではありません。

とが一緒に正常でないことの証明 $X$ $Y$
変換は線形であるため、そのを取得するのは簡単です $(U,V,W) \to (U+W, V-W, W) = (X,Y,W)$ 。したがって、我々は持っている $f_{X,Y,W}(x, y, w) = f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y, W} (x, y, w) d w = \int_{- \infty}^{\infty} f_{U, V, W} (x - w, y + w, w) d w

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y,W}(x,y,w)\,\mathrm dw = \int_{-\infty}^\infty f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)\,\mathrm dw$

f_{U, V, W}

$f_{U,V, W}$

x, y > 0

$x, y > 0$

f_{U, V, W} (x - w, y + w, w)

$f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

w \in (- \infty, - y) \cup (0, x)

$w \in (-\infty,-y) \cup (0,x)$

0

$0$

x, y > 0

$x, y > 0$

\begin{matrix} (3) & f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{- y} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w + \int_{0}^{x} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w . \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^{-y} 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw + \int_0^x 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw.\tag{3}$ Now,

\begin{aligned} (x - w)^{2} + (y + w)^{2} + w^{2} & = 3 w^{2} - 2 w (x - y) + x^{2} + y^{2} \\ = \frac{w^{2} - 2 w (\frac{x - y}{3}) + {(\frac{x - y}{3})}^{2}}{1 / 3} - \frac{1}{3} (x - y)^{2} + x^{2} + y^{2} \end{aligned}

$\begin{align} (x-w)^2 + (y+w)^2 + w^2 &= 3w^2 -2w(x-y) + x^2 + y^2\\ &= \frac{w^2 - 2w\left(\frac{x-y}{3}\right) + \left(\frac{x-y}{3}\right)^2}{1/3} -\frac 13(x-y)^2 + x^2 + y^2 \end{align}$ and so by expanding out

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$ and doing some re-arranging of the integrands in

(3)

$(3)$ , we can write

\begin{matrix} (4) & f_{X, Y} (x, y) = g (x, y) [P {T \leq - y} + P {0 < T \leq x}] \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = g(x,y)\big[P\{T \leq -y\} + P\{0 < T \leq x\}\big] \tag{4}$ where

T

$T$ is a normal random variable with mean

\frac{x - y}{3}

$\frac{x-y}{3}$ and variance

\frac{1}{3}

$\frac 13$ . Both terms inside the square brackets involve the standard normal CDF

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$ with arguments that are (different) functions of both

x

$x$ and

y

$y$ . Thus,

f_{X, Y}

$f_{X,Y}$ is not a bivariate normal density even though both

X

$X$ and

Y

$Y$ are normal random variables, and their sum is a normal random variable.

Comment: Joint normality of $X$ and $Y$ suffices for normality of $X+Y$ but it also implies much much more: $aX+bY$ is normal for all choices of $(a,b)$ . Here, we need $aX+bY$ to be normal for only three choices of $(a,b)$ , viz., $(1,0), (0,1), (1,1)$ where the first two enforce the oft-ignored condition (see e.g. the answer by $Y.H.$ ) that the (marginal) densities of $X$ and $Y$ must be normal densities, and the third says that the sum must also have a normal density. Thus, we can have normal random variables that are not jointly normal but whose sum is normal because we don't care what happens for other choices of $(a,b)$ .

— Dilip Sarwate
ソース