非負整数の離散分布からサンプリングする方法は？

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次の離散分布があります。ここで、は既知の定数です。 $\alpha,\beta$

p (x; α, β) = \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} for x = 0, 1, 2, \dots

$p(x;\alpha,\beta) = \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)} \;\;\;\;\text{for } x = 0,1,2,\dots$

この分布から効率的にサンプリングするためのいくつかのアプローチは何ですか？

— jII
ソース

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これは、ベータ版の負の二項分布であり、ウィキペディアの表記法を使用して、パラメーターになります。が整数の場合、ベータパスカル分布とも呼ばれます。コメントで述べたように、これは成功確率の前に共役ベータを持つベイズの負の二項モデルの予測分布です。 $r=1$ $r$

$\text{Beta}(\alpha,\beta)$ $u$ $\text{NB}(r,u)$ $r=1$

brrrbeta_nbinomdbeta_nbinom $a=r$ $c=\alpha$ $d=\beta$

> Alpha <- 2; Beta <- 3
> a <- 1
> all.equal(brr::dbeta_nbinom(0:10, a, Alpha, Beta), beta(Alpha+a, Beta+0:10)/beta(Alpha,Beta))
[1] TRUE

コードを見るとghyper、SuppDistsパッケージの（一般化された超幾何）分布のファミリーを実際に呼び出していることがわかります。

brr::rbeta_nbinom
function(n, a, c, d){
  rghyper(n, -d, -a, c-1)
}

実際、BNB分布はタイプIVの一般化超幾何分布として知られています。ヘルプを参照してくださいghyperでSuppDistsパッケージを。これは、Johnson＆alの著書であるUnivariate Discrete Distributionsにも記載されていると思います。

— ステファンローラン
ソース

この答えは素晴らしいですが、投稿された密度OPが負の二項密度と同じであることを証明した方がよいでしょう。

— Sycoraxは、モニカを2015

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@ user777 OPの作成者は、Xianの答え（共役ベータが事前にある負の2項モデルの事後予測分布）に対するコメントを考慮して、自分で証明したと思います。

— ステファン・ローラン

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\frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} = \frac{α}{α + β + x} \frac{β + x - 1}{α + β + x - 1} \dots \frac{β}{α + β}

$\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}$

x

$x$

u \sim U (0, 1)

$u\sim\mathcal{U}(0,1)$

S_{k} = \sum_{x = 0}^{k} \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)}

$S_k=\sum_{x=0}^k \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}$

S_{k} > u

$S_k>u$

k

$k$

\begin{aligned} R_{x} & = \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} \\ = \frac{α}{α + β + x} \frac{β + x - 1}{α + β + x - 1} \dots \frac{β}{α + β} \\ = \frac{α + β + x - 1}{α + β + x} \frac{β + x - 1}{α + β + x - 1} R_{x - 1} \\ = \frac{β + x - 1}{α + β + x} R_{x - 1} \end{aligned}

$\eqalign{R_x&=\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}\\&=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\\&=\frac{\alpha+\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}R_{x-1}\\&=\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}R_{x-1}}$

S_{k} = S_{k} - 1 + R_{k}

$S_k=S_k-1+R_k$

— 西安
ソース

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S_{k} = 1 - \frac{Γ (a + b) Γ (b + k + 1)}{Γ (b) Γ (a + b + k + 1)}

$S_k = 1-\frac{\Gamma (a+b) \Gamma (b+k+1)}{\Gamma (b) \Gamma (a+b+k+1)}$

1

k

$k$

u

$u$

α

$\alpha$

β

$\beta$

u

$u$

Γ (b + k + 1)

$\Gamma(b+k+1)$

Γ (a + b + k + 1)

$\Gamma(a+b+k+1)$

α

$\alpha$

β

$\beta$ 両方とも積分であり、その場合の解は多項式の根です。ただし、それでも、ガンマを使用する方法がまだあるかもしれません。

— whuber

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p

$p$