複数の条件を持つベイズ定理

この方程式がどのように導き出されたのか理解できません。

$P(I|M_{1}\cap M_{2}) \leq \frac{P(I)}{P(I')}\cdot \frac{P(M_{1}|I)P(M_{2}|I)}{P(M_{1}|I')P(M_{2}|I')}$

この方程式は、OJ Simpsonの事例が問題例として与えられた論文「Trial by Probability」からのものでした。被告は二重殺人の裁判を受けており、2つの証拠が彼に対して導入されています。

$M_{1}$ は、被告の血液が犯罪現場で見つかった一滴の血液と一致するイベントです。 $M_{2}$ は、被害者の血液が被告に属する靴下の血液と一致するイベントです。罪悪感を仮定すると、1つの証拠が発生すると、他の証拠の確率が高くなります。 $I$ 一方で被告が無実であるイベントで $I'$ 彼が有罪であるときです。

私たちは、2つの証拠を与えられた被告が無実である確率の上限を取得しようとしています。

いくつかの変数の値が与えられましたが、私が興味を持っているのは方程式がどのように導出されたかです。試しましたが、どこにも行きませんでした。

はい、私はすでに「すでに答えがあるかもしれない質問」をチェックしました。

bayesian conditional-probability bayes

— 桜部
ソース

の意味は何ですか？それは

？

I^{'}

$I^\prime$

I^{c}

$I^\text{c}$

— 西安

西安@はい

である

別の表記では

I^{'}

$I'$

I^{c}

$I^{c}$

— Sakurabe

：ベイズの定理により、さて、あなたが提供した論文は、

\begin{aligned} P （ 私 ∣ M_{1} \cap M_{2} ） & = \frac{P （ 私 ） P （ M_{1} \cap M_{2} ∣ 私 ）}{P （ M_{1} \cap M_{2} ）} \\ = \frac{P （ 私 ） P （ M_{1} \cap M_{2} ∣ 私 ）}{P （ 私 ） P （ M_{1} \cap M_{2} ∣ 私 ） + P （ 私^{'} ） P （ M_{1} \cap M_{2} ∣ 私^{'} ）} 。 \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(M_1\cap M_2)}\\&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}.\end{align*}$

場合は真である場合、および独立しています。しかし、罪悪感を仮定すると、一方が発生すると他方の確率が高くなります。 $I$ $M_1$ $M_2$

だから、および

\begin{matrix} （1） & P （ M_{1} \cap M_{2} ∣ 私 ） = P （ M_{1} ∣ 私 ） P （ M_{2} ∣ 私 ） 、 \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I)=P(M_1\mid I)P(M_2\mid I),\label{eq1}\tag{1}$

従って、

\begin{matrix} （2） & P （ M_{1} \cap M_{2} ∣ 私^{'} ） = P （ M_{1} ∣ M_{2} \cap 私^{'} ） P （ M_{2} ∣ 私^{'} ） \geq P （ M_{1} ∣ 私^{'} ） P （ M_{2} ∣ 私^{'} ） 。 \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I')=P(M_1\mid M_2\cap I')P(M_2\mid I')\geq P(M_1\mid I')P(M_2\mid I').\label{eq2}\tag{2}$

\begin{aligned} P （ 私 ∣ M_{1} \cap M_{2} ） & = \frac{P （ 私 ） P （ M_{1} ∣ 私 ） P （ M_{2} ∣ 私 ）}{P （ 私 ） P （ M_{1} \cap M_{2} ∣ 私 ） + P （ 私^{'} ） P （ M_{1} \cap M_{2} ∣ 私^{'} ）} & （で置換 （1） ） \\ \leq \frac{P （ 私 ） P （ M_{1} ∣ 私 ） P （ M_{2} ∣ 私 ）}{P （ 私^{'} ） P （ M_{1} \cap M_{2} ∣ 私^{'} ）} & （小分母） \\ \leq \frac{P （ 私 ）}{P （ 私^{'} ）} \cdot \frac{P （ M_{1} ∣ 私 ） P （ M_{2} ∣ 私 ）}{P （ M_{1} ∣ 私^{'} ） P （ M_{2} ∣ 私^{'} ）} 。 & （で置換 （2） ） \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Substitute with \eqref{eq1})}\\&\leq\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Lesser Denominator)}\\&\leq\frac{P(I)}{P(I')}\cdot\frac{P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(M_1\mid I')P(M_2\mid I')}.&& \text{(Substitute with \eqref{eq2})} \end{align*}$

$\eqref{eq2}$

\begin{aligned} \frac{P （ M_{1} \cap M_{2} ∣ 私^{'} ）}{P （ M_{2} ∣ 私^{'} ）} & = \frac{P （ M_{1} \cap M_{2} \cap 私^{'} ） / P （ 私^{'} ）}{P （ M_{2} \cap 私^{'} ） / P （ 私^{'} ）} \\ = \frac{P （ M_{1} \cap M_{2} \cap 私^{'} ）}{P （ M_{2} \cap 私^{'} ）} \\ = P （ M_{1} ∣ M_{2} \cap 私^{'} ） \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{P(M_1\cap M_2\mid I')}{P(M_2\mid I')}&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')/P(I')}{P(M_2\cap I')/P(I')}\\&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')}{P(M_2\cap I')}\\&=P(M_1\mid M_2\cap I')\end{align*}$

M_{2}

$M_2$

M_{1}

$M_1$

P （ M_{1} ∣ M_{2} \cap 私^{'} ） \geq P （ M_{1} ∣ 私^{'} ）

$P(M_1\mid M_2\cap I')\geq P(M_1\mid I')$

— フランシス
ソース

私は最初に手伝ってくれてありがとう。しかし、私はまだ少し混乱しています。方程式番号を追加して、後の置換で以前の方程式を適用する場所を示してください。物事は理にかなっていますが、「and」の後に不平等が発生することはありません。分母で置換する部分と全体が不平等になります。私は、論文から引用された議論が数学的にどのように翻訳されるかについての説明を推測しているだろう。再度、感謝します！

— 桜部

@桜部：良いですか？

— フランシス

P (I) P (M_{1} \cap M_{2} | I)

$P(I)P(M_{1}\cap M_{2}|I)$

@さくらべ：はい、その項は負ではないので、それを落とすと分母が減ります。

— フランシス