なぜキューイング理論問題の到着プロセスをモデル化するためにポアソン分布が選択されるのですか？

個人がサービングノードに到着してキューイングするキューイング理論のシナリオを検討する場合、通常、ポアソンプロセスを使用して到着時間をモデル化します。これらのシナリオは、ネットワークルーティングの問題で発生します。ポアソンプロセスが到着をモデル化するのに最適な理由について、直感的な説明をいただければ幸いです。

ポアソンプロセスには、次の顧客が到着するまでの「メモリレス」待ち時間が含まれます。ある顧客から次の顧客までの平均時間がます。次の到着までのメモリレス連続確率分布は、次の到着までさらに1分、2秒、1時間などを待つ確率が、最後の到着以降に待機していた時間に依存しない分布です。 。最後に到着してから5秒待っていたのは、最後に到着してから10秒しか待っていなかった場合よりも、顧客が次の分に到着する可能性は高くないからです。$\theta$

これは、次の到着までの待機時間が満たしていること、つまり指数分布であることを自動的に意味します。Pr （T > t ）= e − t /$T$$\Pr(T>t) = e^{-t/\theta}$

そして、それは、長さtの任意の時間間隔中に到着する顧客の数$X$が\ Pr（X = x）= \ dfrac {e ^ {-t / \ theta}（t / \ theta）を満たすことを意味することが示されます。^ x} {x！}つまり、期待値t / \ thetaのポアソン分布を持ちます。さらに、重複しない時間間隔で到着する顧客の数は、確率的に独立していることを意味します。$t$$\Pr(X=x) = \dfrac{e^{-t/\theta} (t/\theta)^x}{x!}$$t/\theta$

したがって、待機時間の無記憶はポアソン過程につながります。

キューイング理論または確率過程の本のほとんどのイントロはこれをカバーします。例えば、ロス、確率過程、またはクラインロック、キューイング理論。

記憶のない到着が指数関数的分布につながることの証明の概要：

G（x）= P（X> x）= 1-F（x）としましょう。ディストリビューションにメモリがない場合、

G（s + t）= G（s）G（t）

すなわち、x> s + t = sよりも大きい確率、およびsよりも大きいので、（s + t）よりも大きい確率。無記憶特性とは、2番目の（条件付き）確率が、同じ分布の異なるrv> tである確率に等しいことを意味します。

ロスを引用するには：

「あらゆる種類の合理的な条件（単調性、右または左の連続性、さらには測定可能性など）を満たす上記の方程式の唯一の解は、次の形式です。」

aの適切な値に対してG（x）= exp（-ax）。

そして、指数分布にあります。