コルモゴロフ0-1法に関連する推測（イベント用）

してみましょうも確率空間。推測： $(\Omega, \mathscr F, \mathbb P)$

イベント st、またはます。イベント stの独立したシーケンスが存在します $A_1, A_2, ...$ $\forall \ A \in \bigcap_n \sigma(A_n, A_{n+1}, ...)$ $P(A) = 0$ $1$ $B_1, B_2, ...$

$τ_{A_{n}} := ⋂_{n} σ (A_{n}, A_{n + 1}, . . .) = ⋂_{n} σ (B_{n}, B_{n + 1}, . . .) := τ_{B_{n}}$ $\tau_{A_n} := \bigcap_n \sigma(A_n, A_{n+1}, ...) = \bigcap_n \sigma(B_n, B_{n+1}, ...) := \tau_{B_n}$

これは本当ですか？

私が思うに、関数が存在する ST「私たちが選択できるように、sは独立している。本当？なぜ/なぜですか？そうでない場合、上記の予想を他にどのように証明または反証できますか？それが本当なら、コルモゴロフ0-1法（イベント）の証明を変更することで証明できると思います。 $f: \mathbb N \to \mathbb N$ $A_{f(n)}$ $B_n = A_{f(n)}$

おそらく、これらのセットのサブシーケンスの1つは独立しています。

A_{n}

$A_n$

A_{2 n}, A_{2 n + 1}

$A_{2n}, A_{2n+1}$

A_{3 n}, A_{3 n + 1}, A_{3 n + 2}

$A_{3n}, A_{3n+1}, A_{3n+2}$

⋮

$\vdots$

A_{m n}, A_{m n + 1}, A_{m n + 2}, . . ., A_{m n + (m - 1)}

$A_{mn}, A_{mn+1}, A_{mn+2}, ..., A_{mn+(m-1)}$

⋮

$\vdots$

私たちはそれを持っていると思います

τ_{A_{n}} = τ_{A_{m n + i}} := ⋂_{n} σ (A_{m n + i}, A_{m (n + 1) + i}, . . .)

$\tau_{A_n} = \tau_{A_{mn+i}} := \bigcap_n \sigma(A_{mn+i}, A_{m(n+1)+i}, ...)$

ここで、およびです。 $m \in \mathbb N$ $i \in \{0, 1, 2, ..., m-1\}$

次の条件を満たすには、このようなが存在する場合、それが必要であるように見えます。 $f(n)$

\begin{matrix} (**) & σ (A_{f (n)}, A_{f (n + 1)} . . .) \subseteq σ (A_{n}, A_{n + 1}, . . .) \end{matrix}

$\sigma(A_{f(n)}, A_{f(n+1)}...) \subseteq \sigma(A_n, A_{n+1}, ...) \tag{**}$

これは、場合（そしてその場合に限り） $f(n) \ge n$ は正しいと思います。

他の可能な候補：（ $f(n)$ 変数がstと想定しますが満たされています。必要に応じて、またはも。） $f: \mathbb N \to \mathbb N$ $(**)$ $f(n) \ge n$

$\sum_{i=0}^{m} a_i n^i$
$2^n, 3^n, ...$
$\sum_{i=1}^{m} b_i c_i^n$
$\lfloor{t^n}\rfloor, \lceil{t^n}\rceil$ （と思い $t > e^{1/e}$ ）
$\lfloor{\sum_{i=1}^{m} b_i c_i^n}\rfloor, \lceil{\sum_{i=1}^{m} b_i c_i^n}\rceil$
$\lfloor{\text{linear combination of trigonometric functions}}\rfloor, \lceil{\text{linear combination of trigonometric functions}}\rceil$
$\lfloor{\text{Some linear combination of the above}}\rfloor, \lceil{\text{Some linear combination of the above}}\rceil$

推測と仮定すると、真である、私はそれを見つける必要はありません推測イベントのすべての可能な配列のために働くことをそのようなので、存在さえしないかもしれません。 $f(n)$ $A_1, A_2, ...$ $f(n)$

推測を反証するために：私たちは、このようなシーケンスことを示さなければならないと思い独立していることが示唆尾は等しくすることはありませんため、尾を尾がなる（イベント用）コルモゴロフ0-1法律で些細な。 $B_n$ $B_n$ $A_n$ $B_n$ $\mathbb P-$

役立つかもしれないもの：またはとは独立ではありませんが、推測が反証されているかどうかはよくわかりません。次のような作成できます。 $\forall \ A \in \bigcap_n \sigma(A_{f(n)}, A_{f(n+1)}, ...), P(A) = 0$ $1$ $\forall n \in \mathbb N, A_{f(n)}, A_{f(n+1)}, ...$ $B_n$

$B_{n} = A_{n + 1} ∖ A_{n}$ $B_n = A_{n+1} \setminus A_n$
$B_{n} = A_{n} ∖ A_{n - 1}, A_{0} = \emptyset$ $B_n = A_{n} \setminus A_{n-1}, A_0 = \emptyset$
$B_{n} = ⋂_{m} A_{m n}$ $B_n = \bigcap_m A_{mn}$
$B_{n} = ⋃_{m} A_{m n}$ $B_n = \bigcup_m A_{mn}$
$B_{2 n} = ⋂_{m} A_{m n}, B_{2 n + 1} = ⋃_{m} A_{m n}$ $B_{2n} = \bigcap_m A_{mn}, B_{2n+1} = \bigcup_m A_{mn}$
$B_{n} = \underset{m}{lim sup} A_{m n}$ $B_n = \limsup_m A_{mn}$
$B_{n} = \underset{m}{lim inf} A_{m n}$ $B_n = \liminf_m A_{mn}$
$B_{2 n} = \underset{m}{lim sup} A_{m n}, B_{2 n + 1} = \underset{m}{lim inf} A_{m n}$ $B_{2n} = \limsup_m A_{mn}, B_{2n+1} = \liminf_m A_{mn}$

もちろん、これらののいずれかが満たすことは言うまでもありませんが、そのは形式である必要はありません。 $B_n$ $\tau_{A_n} = \tau_{B_n}$ $B_n$ $A_{f(n)}$

ボレルカンテッリ：

もし。したがって、は独立しています。 $\sum_n P(A_n) < \infty \to 0 = P(\limsup A_n) = P(\limsup A_{mn}) \ \forall m \in \mathbb N$ $B_m = \limsup A_{mn}$
もし、多分ボレル-Cantelliのこの拡張？私がそれを理解しているか、それがどのように役立つかはよくわかりません。があれば何も結論付けることができないと思います。 $\sum_n P(A_n) = \infty$ $P(\limsup A_n)$
次に、がありますが、以前の条件は満たされていません。 $\sum_n P(A_n) = \infty$

— BCLC
ソース

おそらく、構造による証明で、ですか？

B_{1} = A_{1}, B_{2} = A_{2} - A_{1}, \dots

$B_1 = A_1, B_2 = A_2 - A_1, \dots$

— jbowman 2015

私にとって、この予想は、追加の条件を追加しない限り、または2つの -algebraの補完が一致する（ほとんど取るに足らない）ことを意味しない限り、真実である可能性は低いと思われます。しかし、私は反例を見ることができません。

σ

$\sigma$

— P.Windridge 2015

いずれにせよ、（より単純な）質問から始めることができると思います。「確率空間にしましょう。可算生成される -代数とその又はいずれかのイベントに。独立したイベントのシーケンスありでは with tail -algebra？

(Ω, F, P)

$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$

G \subset F

$\mathcal{G}\subset\mathcal{F}$

σ

$\sigma$

P (A) = 0

$\mathbb{P}(A)= 0$

1

$1$

A \in G

$A \in \mathcal{G}$

B_{1}, B_{2}, \dots

$B_1,B_2,\ldots$

F

$\mathcal{F}$

σ

$\sigma$

G

$\mathcal{G}$

— P.Windridge

A -代数が存在する場合可算生成さ ST。尾 -algebraが無数に生成されない例を見つけるのは簡単です。

σ

$\sigma$

G

$\mathcal{G}$

F_{1}, F_{2}, \dots

$F_1,F_2,\ldots$

G = σ (F_{1}, F_{2}, \dots)

$\mathcal{G} = \sigma(F_1,F_2,\ldots)$

σ

$\sigma$

— P.Windridge、2015

より一般的には、可算で生成された -algebraのサブ -algebra 自体は可算で生成されない場合があります。実際にmath.mit.edu/~dws/175/prob01.pdfの演習1.1.18をご覧ください

σ

$\sigma$

σ

$\sigma$

— P.Windridge

興味深い方法で独立したイベントが必要な場合（単にまたは）、予想は偽です。 $B_n$ $\mathbb{P}(B_n) = 0$ $\mathbb{P}(B_n) = 1$

これは、教訓的な例です。仮定適切リッチ確率空間です。 $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$

LETである -null、すなわち。取ると、尾 -algebraはます。 $A \in \mathcal{F}$ $\mathbb{P}$ $\mathbb{P}(A) =0$ $A_i = A$ $\sigma$ $\mathcal{G} = \{\emptyset, A, A^c, \Omega\}$

特には有限であることに注意してください。 $\mathcal{G}$

ここで、がとから離れた持つ独立したイベントシーケンスであると仮定します。その場合、尾 -algebraは無数に生成されません。（参照例行使1.1.18 http://math.mit.edu/~dws/175/prob01.pdf私は任意の可算生成上述概説のような引数を使用して、 -trivial -代数あり質量原子ですが、はそのような原子はありません）。 $B_1, B_2, \ldots$ $\mathbb{P}(B_n)$ $0$ $1$ $\sigma$ $\mathcal{H}$ $\mathbb{P}$ $\sigma$ $1$ $\mathcal{H}$

したがって、は有限ですが、は数え切れないほど生成されません。 $\mathcal{G}$ $\mathcal{H}$

編集2：を受け入れる場合 $\mathbb{P}(B_n) = 0$ 、計算可能に生成された - 自明な -algebra を複製できます。より詳細には、がイベントによって生成されたとします。場合ある -trivial次いでヌル（又はことによって、全て独立しているであるヌル）。次に、イベントの三角形を作成します、、。 $\mathbb{P}$ $\sigma$ $\mathcal{G}$ $E_1, E_2, \ldots \in \mathcal{G}\subset\mathcal{F}$ $\mathcal{G}$ $\mathbb{P}$ $E_n$ $E_n^c$ $B$ $B_{1,1} = E_1$ $B_{2,1} = E_1, B_{2,2} = E_2,\ldots,B_{k,j} = E_j$ $1\le j \le k$

次に、は、テール -algebraがである独立したイベントの（インデックスの自然順序付けを含むカウント可能なシーケンスです。 $(B_{k,j})$ $\sigma$ $\mathcal{G}$

したがって、ここで私は重要な質問だと思います：が、数えきれないほど生成された -trivial tail -algebra（依存している可能性があるnull以外のイベントからのもの）であるとします。、いくつかのnullイベントのテール -algebra として実現できますか？ $\mathcal{G}$ $\mathbb{P}$ $\sigma$ $\mathcal{G}$ $\sigma$

編集1：灰色の領域は、を受け入れた場合に何が起こるかですが、それは元の質問の推力ではないようです。 $\mathbb{P}(B_n)\to 0$

— P.Windridge
ソース

P.Windridgeに感謝しますが、理解できるかどうかはよくわかりません。1またはを含める場合、予想は（自明ですか？）真ですか？2 Edit 2で証明しようとしていることは何ですか？もしそうなら、あなたのは私のと等しいですか？速記用にOPを編集しました

P (B_{n}) = 0

$P(B_n)=0$

1

$1$

G

$\mathcal G$

τ_{A_{n}}

$\tau_{A_n}$

— BCLC 2015

演習を読みました。？

H = τ_{B_{n}}

$\mathcal H = \tau_{B_n}$

— BCLC、2015

こんにちはBCLC、（1）を含める場合、予想は、「素敵な」尾を持つすべてのイベント当てはまると言います -algebra（ここでここでの「素敵な」とは、数えきれないほど生成されたという意味です。（2）はいあり、はです。 NBリンク運動の使用「あなた-どうあるべきかについて、」、および「」矛盾を取得するために使用する（生成イベントの候補配列を意味する。

P (B_{n}) = 0

$P(B_n)=0$

A_{1}, A_{2}, \dots

$A_1,A_2,\ldots$

σ

$\sigma$

G = τ_{(A_{n})}

$\mathcal{G}=\tau_{(A_n)}$

H

$\mathcal{H}$

τ_{(B_{n})}

$\tau_{(B_n)}$

A_{n}

$A_n$

B_{n}

$B_n$

B_{n}

$B_n$

— P.Windridge

私がフォローしているのかわかりません。ちょうど仮定から、独立していますか？

A_{i}

$A_i$

— BCLC 2016年

行使1.1.18でmath.mit.edu/~dws/175/prob01.pdf、さんは、あなたのように考える必要がある独立したイベントですあなたの推測でs 'が。それはあなたが求めていたものですか？

A_{i}

$A_i$

B_{i}

$B_i$

— P.Windridge