シークレットサンタの配置が完璧な組み合わせになる確率

だから、私たちは秘密のサンタを仕事にしていた。

私たちは8人です。私たちはそれぞれ順番に、名前の書かれたボウルから小さな紙を引き出しました。唯一のルール：名前を引く場合は、紙をボウルに戻し、もう一度試す必要があります。

人々をA、B、C、D、E、F、G、Hと呼びましょう。これは、紙を選んだ順序でもあります。

昨夜はギフト交換をしました。

AはFの秘密のサンタでした。
BはEの秘密のサンタでした。
CはDの秘密のサンタでした。
DはCの秘密のサンタでした。
EはBの秘密のサンタでした。
FはAの秘密のサンタでした。
GはHの秘密のサンタでした。
HはGの秘密のサンタでした。

何が起こったのかわかりますか？カップル作りました。

AとFはお互いの秘密のサンタでした。
BとEはお互いの秘密のサンタでした。
CとDはお互いの秘密のサンタでした。
GとHはお互いの秘密のサンタでした。

これが発生する可能性はどのくらいですか？

自分自身に割り当てられていない人の割り当ての総数は、d （2 n ）= （2 n ）です。（1 / 2 - 1 / 6 + ⋯ + （- 1 ）K / K ！+ ⋯ + 1 /（2 N ）！）。 （これらは混乱と呼ばれます。）値は$2n$

$$d(2n) = (2n)!(1/2 - 1/6 + \cdots + (-1)^k/k! + \cdots + 1/(2n)!).$$ 。$(2n)! / e$

それらが完全なペアリングに対応している場合、それらは互いに素な転置の産物です。これは、それらのサイクル構造が次の形式であることを意味します

$$(a_{11}a_{12})(a_{21}a_{22})\cdots(a_{n1}a_{n2}).$$

$2n$$n!$$2^n n!$

$$p(2n) = \frac{(2n)!}{2^n n!}$$

そのようなペアリング。

そのような完璧なペアリングはすべて混乱であり、すべての混乱は等しく可能性があるため、確率は

$$\frac{p(2n)}{d(2n)} = \frac{1}{2^n n!(1 - 1/2 + 1/6 - \cdots + (-1)^k/k! + \cdots + 1/(2n)!)} \approx \frac{e}{2^n n!}.$$

$2n=8$$15/2119 \approx 0.00707881$$e/(2^4\, 4!) \approx 0.00707886$

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チェックするために、このRシミュレーションは8つのオブジェクトの100万個のランダムな順列を描画し、混乱しているオブジェクトのみを保持し、完全なペアリングであるオブジェクトをカウントします。推定値、推定値の標準誤差、および理論値と比較するためのZスコアを出力します。その出力は

       p.hat           se            Z 
 0.006981031  0.000137385 -0.711721705

$0.0066$$0.0073$

paired <- function(x) crossprod(x[x] - 1:length(x))==0
good <- function(x) sum(x==1:length(x)) == 0

n <- 8
set.seed(17)
x <- replicate(1e6, sample(1:n, n))
i.good <- apply(x, 2, good)
i.paired <- apply(x, 2, paired)

n.deranged <- sum(i.good)
k.paired <- sum(i.good & i.paired)
p.hat <- k.paired / n.deranged
se <- sqrt(p.hat * (1-p.hat) / n.deranged)
(c(p.hat=p.hat, se=se, Z=(p.hat - 15/2119)/se))

@whuberの回答の優雅さにかなり感銘を受けました。正直に言うと、彼の解決策の手順に従うために、新しい概念に精通する必要がありました。それに多くの時間を費やした後、私は得たものを投稿することにしました。したがって、以下は彼のすでに受け入れられた応答への明確なメモです。このように、独創性の試みはありません。私の唯一の目的は、関連するいくつかの手順に従うためにいくつかの追加のアンカーポイントを提供することです。

だからここに行く...

$2n$

2.混乱の公式を導出できますか？

$n$

$d(n)=(n-1)[d(n-2) + d(n-1)]=$

$=n\,d(n-2)-d(n-2)+n\,d(n-1)-d(n-1)$

$d(n) - n\,d(n-1) = -[d(n-1)-(n-1)\,d(n-2)]$

ここで、この方程式のLHSとRHSの括弧内の部分との並列性に注意してください。再帰的に続けることができます。

$d(n) - n\,d(n-1)=-[d(n-1)-(n-1)\,d(n-2)] =$

$=(-1)^2\,[d(n-2)-(n-2)\,d(n-3)]=\cdots=(-1)^{n-2}\,d(2)-2\,d(1)$

$d(n) = n\,d(n-1)+(-1)^n$

逆方向の作業：

$d(2)=1$

$d(3)= 3\,d(2)-1 =3*1\,-1$

$d(4)= 4\,d(3)+1 =4*3*1\,-4\,\,+1$

$d(5)= 5\,d(4)-1 =5*4*3*1\,-5*4\,+5\,\,-1$

$d(6)= 6\,d(5)+1 = 6*5*4*3*1\,-6*5*4\,+6*5\,-6\,+1=$

$=6!\left(\frac{1}{2}- \frac{1}{3*2}+\frac{1}{4*3*2}-\frac{1}{5*4*3*2}+\frac{1}{6!}\right)=$

$=6!\left(\frac{1}{6!}-\frac{1}{5!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{1!}+1\right)$

だから一般的に

$d(n)=n!\left(1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)$

$e^x$$x=-1$

$d(n)\approx\frac{n!}{e}$

${a,b,c,d,e,f}$${b,d,a,c,f,e}$a -> b -> d -> c after which it returns to ae -> f$(\text {a b d c})(\text{e f})$

$4$

$(2n)!$$2n$$2^n$$n!$$p(2n) = \frac{(2n)!}{2^n n!}$

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以下のためのRシミュレーション：

1。 paired <- function(x) crossprod(x[x] - 1:length(x))==0

x[x]$8$Paul -> MariaMaria -> PaulMax -> JohnJohn -> MaxMax -> MariaMaria -> MaxPaul -> JohnJohn -> Paul

i $1$

2。 good <- function(x) sum(x==1:length(x)) == 0

$x$$(1,2,3,4,5,6,7,8)$

3.k.paired <- sum(i.good & i.paired)図の上記のようなペアの順列を除外しますが、これらは混乱ではありません。

v <- c(1,2,3,4,5,6,7,8)
w <- c(1,2,3,5,4,6,7,8)

(c("is v paired?" = paired(v), "is w paired?" = paired(w),
   "is v a derang?" = good(w), "is w a derang?" = good(w)))

# not all paired permutations are derangements.