iid確率変数の期待値

私は理解できないこの派生に出くわしました：が平均と分散母集団から取られたサイズnのランダムサンプルである場合、$X_1, X_2, ..., X_n$$\mu$$\sigma^2$

$\bar{X} = (X_1 + X_2 + ... + X_n)/n$

$E(\bar{X}) = E(X_1 + X_2 + ... + X_n)/n = (1/n)(E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_n))$

$E(\bar{X}) = (1/n)(\mu + \mu + ...n ~\text{times}) = \mu$

これは私が迷っているところです。使用される引数はです。これらは同じように分布しているためです。実際にはそうではありません。サンプルあり、ランダムに2つの数値を置き換えて選択し、この手順を10回繰り返すと、10個のサンプルが得られます：（5、4） （2、5）（1、2）（4、1）（4、6）（2、4）（6、1）（2、4）（3、1）（5、1）。これは、2つのランダム変数ます。ここで、の期待値を取得すると、$E(X_i) = \mu$$S=\{1,2,3,4,5,6\}$$X_1, X_2$$X_1$

$E(X_1) = 1.(1/10) + 2.(3/10) + 3.(1/10) + 4.(2/10) + 5.(2/10) + 6.(1/10) = 34/10 = 3.4$

しかし、人口の期待値は3.5です。私の推論で実際に何が間違っていますか？

まず、はサンプルではありません。これらは、Timによって指摘された確率変数です。食品の水の量を推定する実験を行っているとします。そのため、100種類の食品の水分量を100回測定するとします。含水量の値を取得するたび。ここで含水量はランダム変数であり、世界に合計1000個の食品が存在するとします。100種類の食品を、これらの1000種類の食品のサンプルと呼びます。含水量は確率変数であり、得られた含水量の100の値がサンプルになることに注意してください。 $X_1, X_2,...,X_n$

確率分布からn個の値を独立して同一にランダムに抽出するとしますあると仮定します。次に、期待される値を見つける必要があります。各は独立して同一にサンプリングされるため、各期待値はです。したがって、ます。$E(X)=\mu$$\bar{X}$$X_i$$X_i$$\mu$$\frac{n\mu}{n} =\mu$

質問の3番目の方程式は、推定量が母集団パラメーターの不偏推定量になるための条件です。推定者が不偏であるための条件は

ここで、thetaは母集団パラメーターであり、はサンプルによって推定されたパラメーターです。$\bar{\theta}$

この例では、母集団はありである値のサンプルが与えられています。問題は、この標本が与えられたら、どのように母平均を推定するかです。上記の式によれば、サンプルの平均は母集団平均の不偏推定量です。不偏推定量は実際の平均値と同じである必要はありませんが、この情報を与えることができる限り平均値に近いです。$\{1,2,3,4,5,6\}$$10$$\{5,2,1,4,4,2,6,2,3,5\}$