マンモグラフィーの陽性結果に適用されたベイズの定理の解釈

私は、古典的なマンモグラムの例に適用されたベイズの定理の結果に頭を回そうとしています。マンモグラムのねじれは完璧です。

あれは、

がんの発生率：$.01$

患者にがんがある場合のマンモグラム陽性の確率：$1$

患者にがんがない場合のマンモグラム陽性の確率：$.01$

ベイズ：

P（がん|マンモグラム+）=$\dfrac {1 \cdot .01}{(1 \cdot .01) + (.091 \cdot .99)}$

$= .5025$

それで、母集団から無作為に抽出した人がマンモグラムを撮り、肯定的な結果が得られた場合、50％の確率で癌に罹患しているのでしょうか。人口の1％で誤検知が発生する可能性が非常に低い1％の確率が50％の結果を引き起こす方法を直感的に理解できていません。論理的には、小さな偽陽性率の完全に真陽性のマンモグラムの方がはるかに正確だと思います。

この質問には、医学的観点と統計的観点の両方から回答します。素人プレス、特にベストセラーのシグナルとノイズによるネイトシルバー、そしてその概念を説明するニューヨークタイムズなどの出版物の多くの記事の後、それは多くの注目を集めました。@ user2666425がこのトピックをCVで公開してくれてとてもうれしいです。

まず、は正確ではないことを明確にしておこう。この姿が夢の実現だと言えます。残念ながら、特に乳房組織の密度が高い女性では、偽陰性のマンモグラムがたくさんあります。推定される数値は、すべての異なるタイプの乳癌を1つにまとめるかどうか（侵襲v DCIS）、およびその他の要因に応じて、以上になることがあります。これが、超音波検査またはMRI技術に基づく他のモダリティも適用される理由です。スクリーニングテストでは、と違いが重要です。$p\,(+|C) = 1$$20\%$$0.8$$1$

ベイズの定理は、であると告げており、最近、それに関連して多くの注目を集めています若い、低リスクの女性のマンモグラフィへ。これは、あなたが求めているものとは正確には同じではないことを理解しています。これについては、最後の段落で説明しますが、最も議論の多いトピックです。ここに問題の味があります：$\small p(C|+) = \large \frac{p(+|C)}{p(+)}\small* p(C)$

1. 若い患者の以前の（または有病率に基づいて癌になる確率）、たとえば40〜50歳はかなり小さいとされています。NCIによると、で切り上げることができます（下の表を参照）。収集される可能性やデータに関係なく、マンモグラムが陽性であった場合、この比較的低い検査前の確率自体が、がんの検査後の条件付き確率を低下させます。$\sim 1.5\%$

2. 偽陽性の確率は、数千および数千のアプリオリ健康女性に適用されるスクリーニング手順で非常に重要な問題になります。したがって、（累積リスクに焦点を合わせるとはるかに高くなります）の誤検知率はそれほど悪くは聞こえないかもしれませんが、それは実際には、特に事前確率が低いことを考えると、巨大な心理的および経済的コストの問題です若くてリスクの低い患者の検査確率。数値は大きく外れています。現実には、医学的懸念を含む多くの要因により、「恐怖」が信じられないほど一般的です。$7 - 10\%$$1\%$

したがって、再計算し、非常に重要なことには、リスク要因のない若い女性のために：

$p(C|+) = \frac{p(+|C)}{p(+)}\small* p(C) =$

$= \frac{p(+|C)}{p(+|C)\,*\,p(C)\, +\, p(+|\bar C)\,*\,p(\bar C)}\small* p(C) = \large \frac{0.8}{0.8*0.015\, +\, 0.07*0.985}\small*\, 0.015 = 0.148$。

スクリーニングマンモグラムが陽性と読み取られた場合に癌になる確率は、若くてリスクの低い女性では程度です。余談ですが、マンモグラフィの読み取り値には、放射線科医の診断に対する信頼度の間接的な推定値（BI-RADSと呼ばれます）が付属しており、このベイズ分析は、BI-RADS 3からBI-RADSに進むにつれて急激に変化します。 5-それらのすべては、最も広い意味での「陽性」テストです。$15\%$

この数値は、計算でどのような推定を検討するかによって論理的に変更できますが、実際には、スクリーニングマンモグラフィプログラムに入るための開始年齢の推奨が最近歳から歳に引き上げられました$40$$45$。

年配の女性では、有病率（したがって事前検査の確率）は年齢とともに直線的に増加します。現在のレポートによると、女性が次の年齢で始まる次の10年間に乳癌と診断されるリスクは次のとおりです。

Age 30 . . . . . . 0.44 percent (or 1 in 227)
Age 40 . . . . . . 1.47 percent (or 1 in 68)
Age 50 . . . . . . 2.38 percent (or 1 in 42)
Age 60 . . . . . . 3.56 percent (or 1 in 28)
Age 70 . . . . . . 3.82 percent (or 1 in 26)

これにより、生涯累積リスクは約ます。$10\%$

有病率が年配の女性の計算は次のようになります。$4\%$

$p(C|+)=\large \frac{0.8}{0.8*0.04\, +\, 0.07*0.96}\small*\, 0.04 = 0.32 \sim 32\%$計算したよりも低い。

高齢者でも「怖さ」がいくつあるかを強調しすぎることはできません。スクリーニング手順としてマンモグラムは最初のステップにすぎないため、患者が乳がんにかかっている可能性があるため、陽性のマンモグラムは基本的に解釈され、超音波検査、追加の（診断）マンモグラフィ検査がさらに必要になります。追跡マンモグラム、MRIまたは生検。が非常に高い場合は、スクリーニングテストを処理しないため、生検などの診断テストになります。$p(C|+)$

あなたの質問に対する具体的な回答：

これは「恐怖」であり、はであり、OPのようにではなく、疾患の比較的低い有病率（低い事前テスト確率または高い）と組み合わせて）特に若い女性では、年齢を超えてこのテスト後の確率が低くなっています。$p(+|\bar C)$$7-10\%$$1\%$$p(\bar C)$この「誤警報率」は、「母集団の1％における誤検出のわずか1％の確率」ではなく、分母における癌のない症例のはるかに大きな比率で乗算されていることに注意してください。言及。これがあなたの質問に対する答えだと思います。強調すると、これは診断テストでは受け入れられませんが、スクリーニング手順では依然として価値があります。

直感の問題： @Juho Kokkalaが、OPが直感について尋ねている問題を取り上げました。私はそれが計算と最後の段落で暗示されていると思ったが、十分に公正である...これは私が友人にそれを説明する方法だ...私たちがアリゾナ州ウィンズローで金属探知機を使って流星の破片を探しているとしましょう。ここで：

meteorcrater.comからの画像

...そして金属探知機がオフになります。まあ、もしそれが観光客が落とした硬貨からのものである可能性が高いとあなたが言ったなら、あなたはおそらく正しいでしょう。しかし、要点はわかります。その場所が十分にスクリーニングされていなかった場合、このような場所の検出器からのビープ音は、私たちがニューヨークの路上にいる場合よりも、流星の断片から来た可能性がはるかに高くなります。

私たちがマンモグラフィで行っているのは、健康な人たちです。早期に発見されないと致命的となる可能性のあるサイレント病を探しています。幸運なことに、有病率は他の治癒力の低いがんと比較して非常に高いものですが、結果が「陽性」である場合でも、特に若い女性では、がんにランダムに遭遇する可能性は低いです。

一方、偽陽性がなかった場合、つまり（場合、$p(\bar C|+)=0$

100$\frac{p(+|C)}{p(+|C)\,*\,p(C)\, +\, p(+|\bar C)\,*\,p(\bar C)}\small* p(C) = \frac{p(+|C)}{p(+|C)\,*\,p(C)}\small* p(C) = 1$、確率と同じ私達の金属探知機が鳴った場合流星フラグメントを打ったのだろう私たちが模索されるように起こった地域の独立した場合の代わりに、通常の金属検出器で、我々は流星に個のアミノ酸宇宙空間を検出するために、完全に正確機器を使用していましたフラグメント（作成された例）。それでもニューヨーク市よりもアリゾナ州の砂漠で破片を見つける可能性が高くなりますが、検出器がたまたまビープ音を発した場合は、流星を見つけたことがわかります。$100\%$

完全に正確な測定装置またはシステムはないので、端数はになり、不完全であるほど、少なくなりますフラクション、又は前など式のLHSに「渡さ」され、後方。特定のタイプの検出器を使用する場合、尤度の割合はという形式の線形方程式で定数として機能し。ここで、 <1つのP（C）後部=α*事前事後<$\frac{\text{likelihood}}{\text{unconditional p(+)}}=\frac{p(+|C)}{p(+|C)\,*\,p(C)\, +\, p(+|\bar C)\,*\,p(\bar C)}$$<1$$p(C)$$\text{posterior} = \alpha * \text{prior}$$\text{posterior} < \text{prior}$、事前確率が小さいほど、線形的に後方が小さくなります。これは、陽性予測値（PPV）の有病率への依存と呼ばれます。スクリーニング検査で陽性の被験者が本当にその疾患を持っている確率です。

談話で十分に対処されていないマンモグラフィの主要な問題は、「陽性」の誤った定義です。これは、http：//biostat.mc.vanderbilt.edu/ClinStatの診断の章で説明されています- 生物医学研究の生物統計学のリンクを参照してください。

マンモグラフィで最も広く使用されている診断コーディングシステムの1つはBI-RADSスコアであり、スコア4は頻繁な「陽性」の結果です。カテゴリー4の定義は、「乳がんに特徴的ではないが、悪性である妥当な確率（3〜94％）、生検を検討する必要がある」です。1つのカテゴリで0.03から0.94までの範囲のリスク範囲、つまり、「ポジティブ」が本当に意味するところの信じられないほどの異質性により、私たちの手に混乱があるのも不思議ではありません。

また、BI-RADSシステムには0.945の推定リスクのある人のためのカテゴリがないという不明確な考えの兆候でもあります。

ネイト・シルバーが雄弁にシグナルとノイズで主張しているように、もし私たちが確率論的に考えれば、私たちはあらゆる面でより良い決定をするでしょう。医療検査の「陽性」や「陰性」などの用語を削除すると、偽陽性や偽陰性が削除され、不確実性（および診断を行う前にさらに検査を行うことの正当化）が最適に伝えられます。

本の計算されたリスクの中でこれについての素晴らしい議論があります

この本の多くは、確率とリスクについて話し、考えることのより明確な方法を見つけることに関するものです。例：

40歳の女性が乳がんになる確率は約1％です。彼女が乳癌にかかっている場合、彼女がスクリーニングマンモグラムで陽性となる確率は約90％です。彼女が乳がんにかかっていない場合でも、彼女が陽性となる確率は9％です。陽性と判定された女性が実際に乳がんになる可能性はどのくらいですか？

これは、本が「固有振動数」を使用してソリューションを提示する方法です。10,000人の女性を考えてみましょう。1％が癌にかかっているため、100人の女性です。これらのうち、90％が陽性の検査結果を返します（つまり、がんのある女性90人が陽性の検査になります）。癌のない9900のうち、9％が陽性の検査または891人の女性を返します。したがって、891 + 90 = 981人の女性が陽性の検査で陽性であり、そのうち90人が癌を患っています。したがって、検査で陽性の女性ががんになる確率は、90/981 = 0.092です。

がんの検査で女性の100％が陽性で、数値を少しずつ100 /（100 + 891）= 0.1に変更する場合

おそらくこの考え方は正しいですか？：

ランダムな人の場合、ガンになる可能性は1％です。そのため、ランダムな人のマンモグラムが陽性になる確率はです。彼らが癌を患っていない場合、マンモグラムが陽性になる確率は1％です。$.01 * 1$

したがって、ランダムな人にとっては、コインフリップに直感的に近いものです。マンモグラムが陽性の場合、追加のが癌に有利なを説明する方法がわかりません。$0.0025$

これは、単純化しすぎていますが、直観的な見方です。100人と考えてください。1つは癌にかかっており、検査で陽性となるでしょう。そうでない99人のうち、そのうちの1人は偽陽性のテストを受けます。つまり、2つの陽性のうち、1つは癌になり、もう1つは癌になりません。