インフィル漸近学の数学的定義

私はインフィル漸近法を使用する論文を書いており、私の査読者の1人が、インフィル漸近法とは何かの厳密な数学的定義を提供するように求めています（つまり、数学記号と表記）。

私は文献には何も見当たらないようで、誰かが私をある方向に向けるか、自分で書いた定義を提供してくれることを望んでいました。

インフィルの漸近法（固定領域漸近法とも呼ばれます）に慣れていない場合は、次のようになります。インフィルの漸近法は、いくつかの固定境界領域で数が増えるにつれてますます密になる観測に基づいています。

別の言い方をすれば、インフィル漸近は、固定ドメインでより密にサンプリングすることにより、より多くのデータが収集される場所です。

私はすでにスタイン1999とクレシー1993を見てきましたが、「数学的に」厳密なものは何もありません。

これが私の論文から引用された一節です。

したがって、私たちが扱っている無症候性の種類を認識することが重要です。私たちのケースでは、扱う漸近論は、数が増えるにつれて、いくつかの固定境界領域でますます密になる観測に基づいています。これらのタイプの漸近線は、固定領域漸近線（Stein、1999）またはインフィル漸近線（Cressie、1993）として知られています。固定ドメインでより密にサンプリングすることでより多くのデータが収集されるインフィル漸近法は、私たちが議論を展開するのに役立つ重要な役割を果たします...

注目に値しない、私はラテン語の超立方体サンプリングを使用して私の観察をサンプリングしています。

これは、クレシーの本がインフィル漸近症について述べなければならないことです。

asymptotics definition

Cressieの本の最初の（1991）版のセクション5.8、Infill Asymptoticsは明確です。数学的表記での定義は提供していませんが、例（「インフィルよりもデリケート」な漸近性の例）は、数学的表記を使用して2ページ後に明示的に示されています。自分の論文の「infill asymptotics」の説明を引用してもらえますか？

— whuber

@whuber元の質問に引用を追加しました

ありがとうございました。その引用は十分に具体的ではないようです。どのように正確に固定ドメインをサンプリングしますか？例（Cressieが提供）は、1つのポイントをサンプリングし、その後、別のポイントの周りのクラスターでサンプリングするというものです。たとえば、同種のポアソンプロセスを使用したサンプリングとは、漸近的な動作が異なる可能性があります。

— whuber

@whuberラテンハイパーキューブサンプルを使用しています。

それは答えにとって重要なので、その情報を質問に含めてください。

— whuber

回答:

インフィル漸近法の定義は特に有用ではありません（技術的には、ドメインが固定され、サンプルサイズが増加する場合、それはインフィル漸近法です。ただし、トランセクトを0から1にサンプリングする場合、1つのサンプルを0,1 / 2、1 / 2、3 / 4の別のサンプル、3 / 4、7 / 8の間隔の別のサンプルなど。1の値については多くのことを言うことができますが、多くを言うことはできませんそうしないと。）

$\epsilon$ $\epsilon>0$ $n\rightarrow\infty$

時々、面材は明示的に与えられず、デザインのみが与えられます。たとえば、Lahiriによる論文（Infill Asymptoticsの空間データに基づく推定量の不整合について）は、本質的に「ジッター」グリッド（小さなレベルとしてのランダム性ですが、一般に超長方形のサンプリングに基づく）であるデザインについて述べています固定領域では漸近的に密集しています。彼は、ほとんどのバリオグラムパラメーターが一貫して推定されていないという結果（インフィルの問題によく見られる）を取得します。

Lahiri、Lee、Cressie（空間バリオグラムパラメーターの最小二乗推定量の漸近分布と漸近効率について、J.StatPlanInf 2002、vol。103、pp。密度の高いサンプル。

（密度の高いサンプルの一般的な結果は、インフィルの漸近法が実際には空間プロセスの単一の実現であるため、一貫して推定できる（スーパー母集団）真のバリオグラムの唯一のパラメーターはゼロでの勾配ですが、予測はますます良好になります。）

— アラスカロン
ソース

この声明を証明する方法を知っていますか？「エリアofのすべてのサブ領域について、any> 0の場合、サブ領域でサンプルが発生する確率は、n→∞として1に近づきます。このようなサンプルは、ドメイン内で密です。」

ϵ

$\epsilon$

ラテン超立方体が漸近的に密であると言う論文を知っていますか？

物事を完全に明確にし、表記法を確立するために、ラテンハイパーキューブサンプリングの定義から始めましょう。次に、面内漸近を定義できます。

LHS

$\mathcal{B}=[l_1,u_1)\times [l_2,u_2)\times \cdots [l_d,u_d) \subset \mathbb{R}^d$ $N \ge 1$ $\delta_i(N) = (u_i-l_i)/N$ $N^d$

c_{N} (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{d}) = [l_{1} + i_{1} δ_{1} (N), l_{1} + (i_{1} + 1) δ_{1} (N)) \times \dots [l_{d} + i_{d} δ_{d} (N), l_{d} + (i_{d} + 1) δ_{d} (N)),

$c_N(i_1,i_2,\ldots, i_d) = [l_1 + i_1\delta_1(N), l_1 + (i_1+1)\delta_1(N))\times \cdots [l_d + i_d\delta_d(N), l_d + (i_d+1)\delta_d(N)),$

$0 \le i_j \lt N$ $j$

$N$ $S=\{c_N(i_1^1, \ldots, i_d^1), \ldots, c_N(i_1^N, \ldots, i_d^N)\}$

{i_{j}^{1}, i_{j}^{2}, \dots, i_{j}^{N}} = {1, 2, \dots, N}, j = 1, 2, \dots, d .

$\{i_j^1, i_j^2, \ldots, i_j^N\}=\{1, 2, \ldots, N\},\ j=1, 2, \ldots, d.$

$d$ $2$ $N$ $S$ $N$

X (N) = {(Z_{1}^{N}, Y_{1}^{N}), \dots, (Z_{N}^{N}, Y_{N}^{N})}

$X(N)=\{(Z_1^N,Y_1^N), \ldots, (Z_N^N,Y_N^N)\}$ （場所、観測）値の。

インフィル漸近

$t_N$ $X(N)$ $N$ $\mathcal{B}$ $t_N(X(N))$ $N$

t_{1} (X (1)), t_{2} (X (2)), \dots, t_{N} (X (N)), \dots

$t_1(X(1)), t_2(X(2)), \ldots, t_N(X(N)), \ldots$

$N$

— whuber
ソース