注文統計の変換

確率変数およびは独立しており、分散されていると仮定します。ことを示し有する分布。 $X_1, ... , X_n$ $Y_1, ..., Y_n$ $U(0,a)$ $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $\text{Exp}(1)$

私は設定して、この問題を始めました $\{X_1,...,X_n,Y_1,...Y_n\} = \{Z_1,...,Z_n\}$ 次に $\max(Y_n,X_n)= Z_{(2n)}$ はとして配布され $(\frac{z}{a})^{2n}$ 、 $\min(Y_n,X_n)= Z_{(1)}$ は $1 - (1 - \frac{z}{a})^{2n}$ 密度は、として簡単に見つけることができます $f_{Z_{1}}(z) = (2n)(1-\frac{z}{a})^{2n-1}\frac{1}{a}$ および $f_{Z_{(2n)}}(z) = (2n)(\frac{z}{a})^{2n-1} \frac{1}{a}$

これは、これらが計算されたため、次にどこに行くべきかを知るのに苦労しているところです。変革で何かをしなければならないと思っていますが、よくわかりません...

self-study data-transformation order-statistics

— スーザン
ソース

確かに、

X_{i}

$X_i$ と

Y_{i}

$Y_i$ だけでなく、

も

X_{i}

$X_i$ 独立していると想定する必要があります。

、

直接操作することを考えましたか？

Y_{j}

$Y_j$

\log (Z_{i})

$\log(Z_i)$

— whuber

@whuberコメントからの私の考えは、n * log（Z）の密度を解決する変換を設定することでしょうか？

_{i}

$_i$

— スーザン

私は少し再フォーマットしました（特にとをと変換しました）が気に入らない場合は、以前のバージョンにロールバックできます（ "edited <x> ago"リンクをクリックして）投稿の下部にある私の墓地の上にあります）、次に以前のバージョンの上にある[ロールバック]リンクをクリックします。

l o g

$log$

m i n

$min$

\log

$\log$

min

$\min$

— Glen_b-2015

スーザン、あなたは質問を誤解/誤解しているようです。質問は、の比率を求めます。分母は、：はの最大次数統計、は最大次数統計s。つまり、は、すべてのとの最小値ではなく、min（maxX、maxY）をシークするため、Zトリックを使用できません。すべてのX値とY値を平坦化/結合します。.......

\frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

$\min(Y_{(n)},X_{(n)})$

Y_{(n)}

$Y_{(n)}$

Y

$Y$

X_{(n)}

$X_{(n)}$

X

$X$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

${\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

X

$X$

Y

$Y$

— wolfies

いずれにしても、別の問題として、の密度を計算することは（これまでに行ったように）意味がなく、の密度を個別に計算することはできません。一般的に独立しています。の比率を見つけるには、最初にの結合pdfを見つける必要がありますそれが問題だった場合手元にあります（そうではありません）。

Z_{(1)}

$Z_{(1)}$

Z_{(2 n)}

$Z_{(2n)}$

Z_{(2 n)} / Z_{(1)}

$Z_{(2n)}/Z_{(1)}$

(Z_{(1)}, Z_{(2 n)})

$(Z_{(1)},Z_{(2n)})$

— wolfies

回答:

この問題は定義だけで解決できます。唯一の高度な計算は単項式の積分です。

予備観察

変数と全体的に操作してみましょう。これは変更しませんが、 iidを均一分布にして、計算における気が散るすべての外観を排除します。したがって、一般性を失うことなくと仮定できます。 $X_i/a$ $Y_i/a$ $Z_n$ $(X_1, \ldots, Y_n)$ $(0,1)$ $a$ $a=1$

とその一様分布の独立性は、である任意の数値に対して、 $Y_i$ $y$ $0\le y \le 1$

Pr (y \geq Y_{(n)}) = Pr (y \geq Y_{1}, \dots, y \geq Y_{n}) = Pr (y \geq Y_{1}) \dots Pr (y \geq Y_{n}) = y^{n},

$\Pr(y \ge Y_{(n)}) = \Pr(y \ge Y_1 , \ldots, y \ge Y_n) = \Pr(y \ge Y_1)\cdots \Pr(y \ge Y_n) = y^n,$

について同じ結果が保持されます。将来の参考のために、これにより、 $X_{(n)}$

E (2 X_{(n)}^{n}) = \int_{0}^{1} 2 x^{n} d (x^{n}) = \int_{0}^{1} 2 n x^{2 n - 1} d x = 1.

$\mathbb{E}(2X_{(n)}^n) = \int_0^1 2x^n\mathrm{d}(x^n) = \int_0^1 2nx^{2n-1}\mathrm{d}x = 1.$

解決

してみましょう正の実数とします。の分布を見つけるには、その定義を置き換えて、結果の不等式を単純化します。 $t$ $Z_n$

\begin{aligned} Pr (Z_{n} > t) & = Pr (Z_{n} / n > t / n) = Pr (\exp (Z_{n} / n) > e^{t / n}) \\ = Pr (\frac{max (X_{(n)}, Y_{(n)})}{min (X_{(n)}, Y_{(n)})} > e^{t / n}) \\ = Pr (e^{- t / n} max (X_{(n)}, Y_{(n)}) > min (X_{(n)}, Y_{(n)})) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(Z_n \gt t) &= \Pr(Z_n / n \gt t/n) = \Pr\left(\exp(Z_n/n) \gt e^{t/n}\right) \\ &=\Pr\left(\frac{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})}{\min(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt e^{t/n}\right) \\ &= \Pr\left(e^{-t/n}{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt {\min(X_{(n)}, Y_{(n)})}\right). }$

このイベントは、またはのどちらが小さいかによって、確率が2つのケースに分かれます（確率がゼロの交差は無視できます）。したがって、これらのケースの1つ（たとえば、の方が小さいの可能性を計算し、それを2倍にするだけで済みます。以来、私たち（せる時にできるように、役割を果たしてof）予備セクションの計算を適用するには： $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $t\ge 0$ $0 \le e^{-t/n}X_{(n)} \le 1$ $e^{-t/n}X_{(n)}$ $y$

Pr (Z_{n} > t) = 2 Pr (e^{- t / n} X_{(n)} > Y_{(n)}) = 2 E [{(e^{- t / n} X_{(n)})}^{n}] = e^{- t} E [2 X_{(n)}^{n}] = e^{- t} .

$\Pr(Z_n \gt t) =2\Pr\left(e^{-t/n}X_{(n)} \gt {Y_{(n)}}\right) =2 \mathbb{E}\left[\left(e^{-t/n}{X_{(n)}}\right)^n\right] = e^{-t} \mathbb{E}\left[2{X_{(n)}^n}\right] = e^{-t}.$

これが、がExp分布を持つことの意味です。 $Z_n$ $(1)$

— whuber
ソース

解決策をスケッチします。ここでは、コンピュータ代数システムを使用して、重要なことを行います...

解決

場合サイズのサンプルである親上の、次いで試料最大のPDFがある：およびについても同様です。 $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$

f_{n} (x) = \frac{n}{a^{n}} x^{n - 1}

$f_{n}(x) = \frac{n}{a^n} x^{n-1}$

Y

$Y$

1アプローチ：の関節PDFを探す $(X_{(n)},Y_{(n)})$

とは独立しているため、2つのサンプルの最大値の結合pdfは、2つのpdfの積です。たとえば、： $X$ $Y$ $(X_{(n)},Y_{(n)})$ $f_{(n)}(x,y)$

与えられ。次に、の累積分布関数はです。 $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

自動化するためにMathematicaProbのmathStaticaパッケージの関数を使用しています。cdf wrt微分すると、のpdfが標準の指数として得られます。 $z$ $Z_n$

アプローチ2：注文統計

次数統計を使用して、Max関数とMin関数を処理する必要があるメカニズムを「バイパス」できます。

もう一度：が親サイズサンプルである場合である場合、サンプルの最大値のは、言う、： $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$ $W = X_{(n)}$ $f_n(w)$

サンプルの最大値およびは、この分布からの2つの独立した図面にすぎません。つまり、のおよびオーダーの統計（サイズ2のサンプル）は、まさに私たちが探しているものです。 $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $W$ $1^{st}$ $2^{nd}$ $W$

$W_{(1)} = \min(Y_{(n)},X_{(n)})$
$W_{(2)} = \max(Y_{(n)},X_{(n)})$

の結合pdfは、サイズ2のサンプル、たとえば、次のようになります。 $(W_{(1)}, W_{(2)})$ $g(.,.)$

与えられ。次に、の累積分布関数はです。 $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

このアプローチの利点は、確率計算にmax / min関数が含まれなくなるため、（特に手動で）導出を多少簡単に表現できるようになることです。

その他の

上記の私のコメントによると、あなたは質問を誤解しているようです...

私たちは見つけることを求められます：

Z_{n} = n \log \frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

ここで、分母はmin（xMax、yMax）、...すべてのとの最小値ではありません。 $X$ $Y$

— 狼
ソース

あなたのスケッチに続いて、私が質問を誤って解釈したことを理解しました。2つのサンプルの最大値の結合pdfを計算する方法は理解していますが、max / minの比率をどのように解釈するかはまだわかりません。

— スーザン

最大/最小を「回避」する注文統計を使用して、別の派生を追加しました。

— wolfies

データのログであるスーザンから始めた場合は、比率ではなく注文統計の違いを確認することになります。

— whuber

比率がExp（1）確率変数である理由を説明するには、コンピューター形式の計算を使用するのが最善の方法だとは思いません。

— 西安

良い点... OPが理由を尋ねないことを除いて...それがExp [1]であることを示すため。これが宿題（または課題）であるかどうかもわかりません...これは、実際にはコンピュータを使用する優れた利点の1つです。手順を実行し、結果を確認して、正しいアプローチをとることができます。、しかしメカニックはまだOPに任されています。誰かが最初にログを取るという@whuberの提案を探索するのは良いことです。

— wolfies