もし

9

これは宿題ではありません。

ましょ $X$ ランダムな変数です。場合 $\mathbb{E}[X] = k \in \mathbb{R}$ と $\text{Var}[X] = 0$ 、その従うん $\Pr\left(X = k\right) = 1$ ？

直感的にはこれは明白に思えますが、どうやってそれを証明するかはわかりません。仮定から、であることがわかり $\mathbb{E}[X^2] = k^2$ ます。だから

{(\int_{R} x d F (x))}^{2} = \int_{R} x^{2} d F (x) .

$\left(\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x)\right)^2 = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)\text{.}$ これは私をどこにも導いてくれないようです。

試すことができ

今ので

、その次

も同様に。

Var [X] = E [{(X - k)}^{2}] .

$\text{Var}[X] = \mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right]\text{.}$

{(X - k)}^{2} \geq 0

$\left(X - k\right)^2 \geq 0$

E [{(X - k)}^{2}] \geq 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] \geq 0$

私は平等を使用した場合でも、その後、私の本能はそれであるそのため、。

E [{(X - k)}^{2}] = 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] = 0$

{(X - k)}^{2} \equiv 0

$\left(X - k\right)^2 \equiv 0$

X \equiv k

$X \equiv k$

どうすればこれを知ることができますか？私は矛盾による証拠だと思います。

$X \neq k$ $X$ $(X-k)^2 > 0$ $\mathbb{E}[(X-k)^2] > 0$ $X$ $X \equiv k$

私の証明は正しいですか？そうであれば、おそらくこの主張を証明するより良い方法はありますか？

probability

— クラリネット奏者
ソース

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

3

私はチェビシェフの不平等がこの質問にすぐに答えると信じています。

— whuber

@whuber：少なくともウィキペディアのチェビシェフの不等式に関する記述では、ゼロ以外の分散が明示的に必要です。ゼロ分散の場合に何らかの基本的な証明が必要かどうかは本当にわかりません...

— Stephan Kolassa

1

(- δ, δ)

$(-\delta,\delta)$

Pr (| X - k | > δ) \leq ε

$\Pr(|X - k| \gt \delta) \le \varepsilon$

ε > 0

$\varepsilon \gt 0$

δ > 0

$\delta \gt 0$

6

$(\Omega, \mathcal F, P)$ $Y:=(X - \mathbb EX)^2 \geq 0$ $\mathbb EY :=\int Y(\omega) P(d\omega)$ $\epsilon>0$ $A\in \mathcal F$ $Y>\epsilon$ $A$ $P(A)>0$ $\epsilon I_A$ $Y$ $\mathbb E Y$

E Y \geq \int ϵ I_{A} P (d ω) = ϵ P (A) > 0,

$\mathbb EY\geq \int\epsilon I_AP(d\omega) = \epsilon P(A)>0,$

\forall ϵ > 0

$\forall \epsilon>0$

P ({ω : Y > ϵ}) = 0

$P\left(\{\omega : Y>\epsilon \}\right) = 0$

— エクヴァル
ソース

5

矛盾によってこれを証明してください。分散と仮定の定義により、

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx,$

$f$ $X$ $(x-k)^2$ $f(x)$

$P(X=k)<1$

U := (R ∖ {k}) \cap f^{- 1} (] 0, \infty [)

$U:=\big(\mathbb{R}\setminus\{k\}\big)\cap f^{-1}\big(]0,\infty[\big)$

$k\notin U$

\int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$\int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

$\epsilon$

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x \geq \int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx \geq \int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

そしてあなたの矛盾。

— ステファン・コラサ
ソース

2

$X \equiv k$ $X = k$

$X \equiv k \iff X(\omega) = k \ \forall \ \omega \in \Omega \to X=k \ \text{a.s.}$

とにかく、それは明らかです

(X - E [X])^{2} \geq 0

$(X-E[X])^2 \ge 0$

と思います

E [X - E [X])^{2}] = 0

$E[X-E[X])^2] = 0$

その後

(X - E [X])^{2} = 0 a.s.

$(X-E[X])^2 = 0 \ \text{a.s.}$

私が信じている最後のステップは、確率の連続性...またはあなたがしたこと（あなたは正しい）を含みます。

チェビシェフの不平等もあります：

$\forall \epsilon > 0$

P (| X - k | \geq ϵ) \leq \frac{0}{ϵ^{2}} = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) \le \frac{0}{\epsilon^2} = 0$

P (| X - k | \geq ϵ) = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) = 0$

\to P (| X - k | < ϵ) = 1

$\to P(|X-k| < \epsilon) = 1$

もう一度いい話。

ところでそれはなぜですか

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

？

$LHS = k$ $RHS = k^2$

— BCLC
ソース

1

はい、そうです。私は投稿を編集しました

— クラリネット奏者、

@Clarinetist Edited mine：P

— BCLC