二次制約の影響を受ける多変量正規分布からのサンプルの描画

私がしたい効率的にサンプルを描く$x \in \mathbb{R}^d$から$\mathcal{N}(\mu, \Sigma)$の制約を受けること$||x||_2 = 1$。

この問題の正式な解決には、まず適切な定義が必要です。

"分布は、という制約を受けます "$\mathcal{N}_d(μ,Σ)$$||x||^2=1$

自然な方法は、条件としての分布を定義すること。そして、この条件をケースに適用します。極座標を使用する場合、 変換のヤコビアンは したがって、分布の条件付き密度$X\sim\mathcal{N}_d(μ,Σ)$$||X||=\varrho$$\varrho=1$

$$\eqalign{ x_1&=\varrho\cos(\theta_1)\qquad&\theta_1\in[0,\pi]\\ x_2&=\varrho\sin(\theta_1)\cos(\theta_2)\qquad&\theta_2\in[0,\pi]\\ &\vdots\\ x_{d-1}&=\varrho \left( \prod_{i=1}^{d-2}\sin(\theta_i) \right) \cos(\theta_{d-1})\qquad&\theta_{d-1}\in[0,2\pi]\\ x_{d}&=\varrho\prod_{i=1}^{d-1}\sin(\theta_i) }$$ $$\varrho^{d-1}\prod_{i=1}^{d-2}\sin(\theta_i)^{d-1-i}$$ $\mathbf{\theta}=(\theta_1,\ldots,\theta_{d-1})$所与 IS $\varrho$ $$f(\mathbf{\theta}|\varrho) \propto \exp\frac{-1}{2}\left\{(x(\theta,\varrho)-\mu)^T\Sigma^{-1}(x(\theta,\varrho)-\mu) \right\} \prod_{i=1}^{d-2}\sin(\theta_i)^{d-1-i}$$

結論：ヤコビアンのため、この密度は、単位球上の点に単に正規密度を適用することとは異なります。

2番目のステップは、ターゲット密度 とマルコフ連鎖モンテカルロアルゴリズムを設計して、パラメーター空間を探索します。私の最初の試みは、に最も近い球上の点で初期化さギブスサンプラーにてだろう、で、、そしてメトロポリスギブス内の方法で一度に1つの角度を進めます。

$$f(\mathbf{\theta}|\varrho=1) \propto \exp\frac{-1}{2}\left\{(x(\theta,1)-\mu)^T\Sigma^{-1}(x(\theta,1)-\mu) \right\} \prod_{i=1}^{d-2}\sin(\theta_i)^{d-1-i}$$ $[0,\pi]^{d-2}\times[0,2\pi]$$\mu$$\mu/||\mu||$

1. 生成する（合計が計算されます法として）、この新しい値を確率 else$\theta_1^{(t+1)}\sim\mathcal{U}([\theta_1^{(t)}-\delta_1,\theta_1^{(t)}+\delta_1])$$\pi$ $$\dfrac{f(\theta_1^{(t+1)},\theta_2^{(t)},...|\varrho=1)}{f(\theta_1^{(t)},\theta_2^{(t)},...|\varrho=1)}\wedge 1$$ $\theta_1^{(t+1)}=\theta_1^{(t)}$
2. 生成する（合計が計算されます法として）、この新しい値を確率 else$\theta_2^{(t+1)}\sim\mathcal{U}([\theta_2^{(t)}-\delta_2,\theta_2^{(t)}+\delta_2])$$\pi$ $$\dfrac{f(\theta_1^{(t+1)},\theta_2^{(t+1)},\theta_3^{(t)},...|\varrho=1)}{f(\theta_1^{(t+1)},\theta_2^{(t)},\theta_3^{(t)},...|\varrho=1)}\wedge 1$$ $\theta_2^{(t+1)}=\theta_2^{(t)}$
3. $\ldots$
4. 生成（合計は法として計算されます）、この新しい値を確率 else$\theta_{d-1}^{(t+1)}\sim\mathcal{U}([\theta_{d-1}^{(t)}-\delta_{d-1},\theta_{d-1}^{(t)}+\delta_{d-1}])$$2\pi$ $$\dfrac{f(\theta_1^{(t+1)},\theta_2^{(t+1)},...,\theta_{d-1}^{(t+1)}|\varrho=1)}{f(\theta_1^{(t+1)},\theta_2^{(t+1)},...,\theta_{d-1}^{(t)}| \varrho=1)}\wedge 1$$ $\theta_{d-1}^{(t+1)}=\theta_{d-1}^{(t)}$

スケール、、、は、理想的な目標に向けて、ステップの受け入れ率に対してスケーリングできます。$\delta_1$$\delta_2$$\ldots$$\delta_{d-1}$$50\%$

以下は、上記を説明するRコードで、およびデフォルト値を示します。$\mu$$\Sigma$

library(mvtnorm)
d=4
target=function(the,mu=1:d,sigma=diag(1/(1:d))){
 carte=cos(the[1])
 for (i in 2:(d-1))
  carte=c(carte,prod(sin(the[1:(i-1)]))*cos(the[i]))
 carte=c(carte,prod(sin(the[1:(d-1)])))
 prod(sin(the)^((d-2):0))*dmvnorm(carte,mean=mu,sigma=sigma)}
#Gibbs
T=1e4
#starting point
mu=(1:d)
mup=mu/sqrt(sum(mu^2))
mut=acos(mup[1])
for (i in 2:(d-1))
  mut=c(mut,acos(mup[i]/prod(sin(mut))))
thes=matrix(mut,nrow=T,ncol=d-1,byrow=TRUE)
delta=rep(pi/2,d-1)     #scale
past=target(thes[1,])   #current target
for (t in 2:T){
 thes[t,]=thes[t-1,]
 for (j in 1:(d-1)){
   prop=thes[t,]
   prop[j]=prop[j]+runif(1,-delta[j],delta[j])
   prop[j]=prop[j]%%(2*pi-(j<d-1)*pi)
   prof=target(prop)
   if (runif(1)<prof/past){
     past=prof;thes[t,]=prop}
   }
}

$||x||_2^2=1$は、が（連続）確率変数であるため、厳密には不可能です。分散を1にしたい場合、つまり（チルドは分散を推定することを意味します）の場合、その分散をする必要があります。ただし、この要求はと競合する可能性があります。つまり、この分散のサンプルを取得するには、の対角がと等しい必要があります。$x$$E[(x-\mu)^2]\tilde{=} \frac{1}{n}\sum (x-\mu)^2=\frac{1}{n} ||x-n||_2^2=\frac{1}{n}$$\frac{1}{n}$$\Sigma$$\Sigma$$\frac{1}{n}$

この分布を一般的にサンプリングするには、iidの標準法線を生成し、次に平方根である乗算して、平均追加します。$\Sigma^{0.5}$$\Sigma$$\mu$