すべての相関行列は正定ですか？

ここでピアソン相関の行列について話しています。

私は、すべての相関行列は正の半正定行列でなければならないと言っていることをよく耳にします。私の理解では、正定行列はより大きい固有値でなければならず、正半定行列は固有値なければなりません。これは私の質問を「相関行列が固有値を持つことは可能ですか？」と言い換えることができると思います。≥ 0 = $> 0$$\ge 0$$= 0$

（欠損データのない経験的データから生成された）相関行列が固有値、または固有値ですか？代わりに人口相関行列である場合はどうなりますか？< $= 0$$< 0$

私は一番上の答えで読ん共分散行列については、この質問へのこと

、、 3つの変数を考えます。が正ではないベクトル（）があるため、それらの共分散行列は正定ではありません。Y Z = X + Y MをZ = （1 、1 、- 1 ）' Z ' M $X$$Y$$Z = X+Y$$M$$z$$= (1, 1, -1)'$$z'Mz$

ただし、共分散行列の代わりに相関行列でこれらの計算を行うと、は正の値になります。したがって、相関行列と共分散行列では状況が異なると思います。$z'Mz$

私が尋ねる理由は、私がそこで尋ねた質問に関して、stackoverflowで尋ねられたからです。

相関行列は正定である必要はありません。

ゼロ以外の分散を持つスカラー確率変数Xを考えます。次に、Xとそれ自体との相関行列は、すべて1の行列です。これは、正定定ではありますが、正定ではありません。

サンプル相関については、最初の観測1と1、2番目の観測2と2を持つ上記のサンプルデータを考慮してください。これにより、サンプル相関はすべて1の行列になるため、正定ではありません。

サンプル相関行列は、正確な演算で計算された場合（つまり、丸め誤差がない場合）、負の固有値を持つことはできません。

@yokiと@MarkLStone（両方の+1）その内外点によって回答集団変数が線形（例えばように関連している場合、相関行列はゼロ固有値を有することができる @MarkLStoneの例ではで@yokiの例）。$X_1 = X_2$$X_1 = 2X_2$

それに加えて、サンプル相関行列は、必ずしもゼロ固有値を有するかどう、すなわち、サンプルサイズが変数の数よりも小さい場合。この場合、共分散行列と相関行列は両方とも最大でになるため、少なくともゼロ固有値が存在します。サンプルサイズが変数の数よりも小さい場合、サンプル共分散行列が特異である理由を参照してください。そしてなぜ、最大で共分散行列のランクである？$n<p$$n-1$$p-n+1$$n-1$

検討平均0と1 letの分散を有するRVことがとの共分散行列を計算。以降、、及び。ゼロ平均構成のため、2次モーメントは適切な共分散に等しくなります。たとえば、ます。$X$$Y=2X$$(X,Y)$$2X=Y$$E[Y^2]=4E[X^2]=\sigma_Y^2$$E[XY]=2E[X^2]$$\mbox{Cov}(X,Y)=E[XY]-EXEY=E[XY]$

したがって、共分散行列は次のようになります： ゼロの固有値。相関行列は次のようになります。 固有値もゼロ。とは線形に対応しているため、この相関行列が得られる理由は簡単にわかります。対角は常に1であり、線形の関係から非対角は1です。