すべての相関行列は正定ですか?


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ここでピアソン相関の行列について話しています。

私は、すべての相関行列は正の半正定行列でなければならないと言っていることをよく耳にします。私の理解では、正定行列はより大きい固有値でなければならず、正半定行列は固有値なければなりません。これは私の質問を「相関行列が固有値を持つことは可能ですか?」と言い換えることができると思います。0 = 0>00=0

(欠損データのない経験的データから生成された)相関行列が固有値、または固有値ですか?代わりに人口相関行列である場合はどうなりますか?< 0=0<0

私は一番上の答えで読ん共分散行列については、この質問へのこと

、、 3つの変数を考えます。が正ではないベクトル()があるため、それらの共分散行列は正定ではありません。Y Z = X + Y MをZ = 1 1 - 1 ' Z ' M ZXYZ=X+YMz=(1,1,1)zMz

ただし、共分散行列の代わりに相関行列でこれらの計算を行うと、は正の値になります。したがって、相関行列と共分散行列では状況が異なると思います。zMz

私が尋ねる理由は、私がそこで尋ねた質問に関して、stackoverflowで尋ねられたからです。


たとえば、2つの属性が1つで、名前が異なるだけの場合、行列は特異です。2つの属性が定数に追加される場合、それは再び単数形などになります。
ttnphns 2015年

共分散行列が特異である場合、相関行列も特異です。
ttnphns 2015年

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ほぼ重複:すべての相関行列は正定値ですか?これは、定角度と半定角度にあまり焦点が当てられていません。すべての共分散行列は正定ですか?これは、共分散が本質的に再スケーリングされた相関であるため、関連しています。
Silverfish 2015年

回答:


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相関行列は正定である必要はありません。

ゼロ以外の分散を持つスカラー確率変数Xを考えます。次に、Xとそれ自体との相関行列は、すべて1の行列です。これは、正定定ではありますが、正定ではありません。

サンプル相関については、最初の観測1と1、2番目の観測2と2を持つ上記のサンプルデータを考慮してください。これにより、サンプル相関はすべて1の行列になるため、正定ではありません。

サンプル相関行列は、正確な演算で計算された場合(つまり、丸め誤差がない場合)、負の固有値を持つことはできません。


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サンプル相関行列の欠損値の考えられる影響について言及する価値があるかもしれません。数値ファズは、サンプルの相関/共分散行列で負の固有値を取得する唯一の理由ではありません。
Silverfish 2015年

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はい、明示しませんでしたが、質問文によれば、「データが欠落していない」と想定していました。欠けているデータとその調整のワイルドで風変わりな世界に入ると、何でも起こります。
Mark L. Stone

はい、申し訳ありませんが、「データが欠落していない」という質問は正解です。OPの食欲が落ち着いても将来の検索者が興味を持つ可能性があるので、どこかで言及する価値があると思っただけです。
Silverfish 2015年

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@yokiと@MarkLStone(両方の+1)その内外点によって回答集団変数が線形(例えばように関連している場合、相関行列はゼロ固有値を有することができる @MarkLStoneの例ではで@yokiの例)。X1=X2X1=2X2

それに加えて、サンプル相関行列は、必ずしもゼロ固有値を有するかどう、すなわち、サンプルサイズが変数の数よりも小さい場合。この場合、共分散行列と相関行列は両方とも最大でになるため、少なくともゼロ固有値が存在します。サンプルサイズが変数の数よりも小さい場合、サンプル共分散行列が特異である理由を参照してくださいそしてなぜ、最大で共分散行列のランクであるn<pn1pn+1n1


真実のデータ。この情報も提供できたはずですが、私の目標は、OPの仮説を否定する反例を作成して、その無効性を示すことでした。それでも、2番目の文を「この場合は共分散および相関行列ランクは最大でn-1になるため、少なくとも(p-n + 1)個の固有値が存在します。」
Mark L. Stone

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検討平均0と1 letの分散を有するRVことがとの共分散行列を計算。以降、、及び。ゼロ平均構成のため、2次モーメントは適切な共分散に等しくなります。たとえば、ます。XY=2X(X,Y)2X=YE[Y2]=4E[X2]=σY2E[XY]=2E[X2]Cov(X,Y)=E[XY]EXEY=E[XY]

したがって、共分散行列は次のようになります: ゼロの固有値。相関行列は次のようになります。 固有値もゼロ。とは線形に対応しているため、この相関行列が得られる理由は簡単にわかります。対角は常に1であり、線形の関係から非対角は1です。

Λ=(1224),
Λ=(1111),
XY

私のような数学に挑戦する読者のために2、はこの最後の等式の結果:。Λcov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=2E[X2]=2(σX2+[E(X)]2)E(X2)=Var(X)+[E(X)]2
Antoni Parellada、2015年

投稿の+1。数式を含めることで、誰でも簡単にフォローできるようにしたかったのですが、コメント形式では許可されません。あなたの投稿にそれを含めることには有効な点があると思いますか?diagΛ1/2ΛdiagΛ1/2
Antoni Parellada、2015年

@AntoniParellada、私はあなたが何を意味するのか正確にはわかりません-ここでの共分散は直接計算です。しかし、私はそれを編集して明確にします。ありがとう。
ヨーキ、2015年
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