共和分検定統計量が与えられた場合、共和分について何らかの結論を下すことができますか？

一般に、共和分検定統計ことを示すことができます。これはすべての共和分テストに当てはまると私は信じているので、使用される特定のテストはおそらく無関係です。$A, B \ne B,A$

ただし、2つのテスト統計は一般に「近い」ことがわかりました。2つのテスト統計は同じ信頼水準になります。

私の作業では、共和分をテストする一般的な方法は、2つの系列（残差系列）の線形結合の単位根をテストすることです。一般的には、ADFテストを使用してそれを行い、結果のテスト統計を帰無仮説を棄却するために必要な信頼水準と比較します。

私の質問：

1. との比較について言えることはありますか？c o i n t （B 、A $coint(A,B)$$coint(B,A)$
2. 1つの変数の向きを他の向きよりも優先する説得力のある技術的な理由はありますか？
3. 1または2に対する答えは、使用された共和分検定に固有ですか？もしそうなら、私が上で概説した共和分テスト方法論に特に関連するものはありますか？

ありがとう。

編集：

リクエストされたとおりの例です。私はほとんどの統計作業にPythonを使用しています。

最初の線形結合（AKA残留シリーズ）のためのADF検定統計量であり、-35.9199966497及び-35.7190914946第二の線形結合のために。

明らかにこれはかなり極端な例ですが、他にもたくさんあります。

グラフのプロットの順序：

1. 残差シリーズ1
2. 最適なライン、（x、y）方向の散布図。
3. 残差シリーズ2
4. 最適なライン、（y、x）方向の散布図。
5. 2つの生の曲線のグラフ。

うまくいけば、これで問題が解決します。

2つの時系列とが共積分されるためには、2つの条件が満たされます。Y $X_t$$Y_t$

1. Y 、T I （1 ）Δ X T Δ Y $X_t$とはプロセスでなければなりません。つまり、とは定常プロセスでなければなりません（弱い意味では、定常共分散）。$Y_t$$I(1)$$\Delta X_t$$\Delta Y_t$

2. 時系列が定常過程となるような係数が存在します。ベクトルは共積分ベクトルと呼ばれます。Z T = α X T + β Y T（α 、β $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$$Z_t=\alpha X_t+\beta Y_t$$(\alpha,\beta)$

定常性はシフトとスケーリングに対して不変なので、係数とは一意に定義されていない、つまり乗数定数まで一意であるということになります。$\alpha$$\beta$

共和分検定には2つの種類があります。

1. 上のの回帰の残差をテストします。X $Y_t$$X_t$

2. ベクトル誤差補正表現の行列ランクについてテストします。$(Y_t,X_t)$

どちらの品種も、特定の理論的な結果に依存しています。

1. 上の OLSは、共積分ベクトルの一貫した推定値を提供しますX $Y_t$$X_t$

2. グレンジャー表現の定理。

OPの質問は、最初のさまざまなテストに関するものです。これらのテストでは、選択肢を選択できます回帰またはをます。当然、これらの2つの回帰は、2つの異なる共積分ベクトルおよびを与えます。しかし、上記の理論上の結果により 、共積分ベクトルは定数まで一意であるため、との確率限界は同じでなければなりません。X 、T = A 2 + B 2 のY T + V T YのT（- B 1、1 ）（1 、- B 2）- B 1 - 1 / B$Y_t=a_1+b_1 X_t+u_t$$X_t=a_2+b_2 Y_t+v_t$$Y_t$$(-\hat b_1, 1)$$(1, -\hat b_2)$$-\hat b_1$$-1/\hat b_2$

OLSの代数的特性により、残差系列とは同一ではありませんが、理論的な観点からは、どちらもとと等しくなければなりませんそれぞれ、すなわち、それらは乗法定数と同一でなければなりません。シリーズならばと cointegratedされ、その後とても以来、静止シリーズでとおおよそ我々は、彼らが静止しているかどうかをテストすることができます。のV T$\hat u_t$$\hat v_t$$\frac{1}{\beta}Z_t$X、TY、TZT U、T V TZ$\frac{1}{\alpha}Z_t$$X_t$$Y_t$$Z_t$$\hat u_t$$\hat v_t$$Z_t$

これが、最初のさまざまな共和分検定が実行される方法です。当然、とは異なるため、それらに対するテストも異なります。しかし、理論的な観点から見ると、違いは有限のサンプルバイアスであり、漸近的に消えるはずです。 のV$\hat u_t$$\hat v_t$

系列との定常性テストの差が統計的に有意である場合、これは系列が共積分されていないか、定常性テストの仮定が満たされていないことを示しています。のV$\hat u_t$$\hat v_t$

残差の定常性テストとしてADFテストを使用する場合、とのADF統計間の差異の漸近分布を導き出すことは可能だと思います。実用的な価値があるかどうかはわかりません。のV$\hat u_t$$\hat v_t$

したがって、3つの質問に対する回答を要約すると、次のようになります。

1. 上記を参照。

2. 番号。

3. 検定の差異の漸近分布は検定に依存します。あなたの方法論は結構です。時系列が共積分されている場合、両方の統計がそうであるべきです。共和分がない場合、両方の統計が定常性を拒否するか、どちらかが拒否します。どちらの場合も、共積分の帰無仮説を棄却する必要があります。ユニットルートのテストと同様に、時間の傾向、変化点、およびユニットルートのテストを非常に困難な手順にするその他すべてのものから保護する必要があります。

したがって、統計の最も一般的な答えは明らかにこの質問に対して正しいです。

時系列ベクトルの分散が低く、類似している場合、入力変数の一意の順序の共和分検定統計の類似性について、適切な推測を行うことができます。

これは、共積分検定統計量の計算から暗示されます。入力時系列ベクトルの分散が低く、類似している場合、共積分係数は類似しており（つまり、互いにほぼスカラー倍数）、残差になります。系列は、互いにほぼスカラー倍数です。同様の残差系列は、同様の共和分検定統計を意味します。ただし、分散が大きい場合、または異なる場合、残差系列が互いにほぼスカラー倍であることを暗示的に保証するものではないため、共積分検定の統計変数が変動します。

正式に：

2変量ケースの共積分係数を見つけるために使用される単純な回帰モデルを考えます。

xをyに回帰：

xのyの回帰：

明らかに。$Cov[x,y] = Cov[y,x]$

$\sigma^2_x \neq \sigma^2_y$

$\hat{\beta}_{xy}$$\hat{\beta}_{yx}$

$\gamma = \hat{\beta}$$\gamma^1 \neq a*\gamma^2$$a$

これは、相互統合に関する2つの事実を示しています。

1. 個々の時系列ベクトルの分散のため、共積分のテストにおける変数の順序は重要です。これは、共積分係数の計算方法が原因で、さまざまな可変方向の共積分係数間の関係に影響します。
2. 残差系列は互いに「類似」している場合とそうでない場合があります。類似性は個々の時系列ベクトルの分散に依存します。

これらの事実は、一意の変数の順序によって形成される残差系列が異なるだけでなく、おそらく相互のスカラー倍数ではないことを意味します。

では、どの順序を選択するのでしょうか？それはアプリケーションに依存します。

$-1 * \alpha$$\alpha$

したがって、最後に、共和分についてテストされている時系列ベクトルの分散が低く、類似している場合、共和分検定の統計は同様の信頼水準であると正しく推測できます。一般的に、1つの方向を優先する一般的な理由がない限り、両方の方向をテストするか、少なくとも時系列ベクトルの分散を考慮するのがおそらく最善です。