楕円上の均一分布の相関係数

私は現在、楕円の内部の一様分布の相関係数を主張する論文を読んでいます

f_{X, Y} (x, y) = {\begin{cases} constant & if (x, y) inside the ellipse \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X,Y} (x,y) = \begin{cases}\text{constant} & \text{if} \ (x,y) \ \text{inside the ellipse} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

によって与えられます

ρ = \sqrt{1 - {(\frac{h}{H})}^{2}}

$\rho = \sqrt{1- \left(\frac{h}{H}\right)^2 }$

ここで、とは、それぞれ中央と両端の垂直方向の高さです。 $h$ $H$

著者は彼がどのようにそれに到達したかを明らかにせず、代わりに、スケールを変更し、回転し、平行移動し、そしてもちろん統合する必要があるとだけ述べています。私は彼のステップをたどってみたいと思いますが、私はそれで少し迷っています。したがって、いくつかのヒントに感謝します。

前もって感謝します。

ああ、そして記録のために

シャティヨン、ガイ。「バルーンは、相関係数の大まかな推定値を決定します。」アメリカ統計学者38.1（1984）：58-60

とても面白いです。

— ジョンK
ソース

楕円の表現を書いてもらえますか？"極端に高さ"標準楕円ため意味をなさない：、それは高さ有しているのでで両極端。実際、が標準楕円の内部に均一に分布している場合、です。

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

0

$0$

(X, Y)

$(X,Y)$

ρ = 0

$\rho = 0$

— Dilip Sarwate、2015年

@DilipSarwateええ、私は標準的なケースを試してを計算しましたが、そこには問題はありませんでした。しかし、スケーリングや回転などが必要な他のケースについてはどうですか？

ρ = 0

$\rho = 0$

— JohnK、2015年

操作全体が根本的に間違っているようです。「スケールの変更」の部分は均一性を破壊します。真に均一な分布は、曲線の狭い（ユークリッド）バッファー内の制限分布として達成されるか、円弧長によって均一になります。どちらの場合でも、正規化定数は完全な楕円関数であり、ここで与えられた式を単純化することはおそらくできません。と意味はませんが、例として、長軸が短軸の2倍で、角度で傾いた楕円の相関係数はになります。

h

$h$

H

$H$

π / 6

$\pi/6$

0.78004

$0.78004$

— whuber

@whuberとが何を表しているのかを説明する紙の図を含めましたが、これにより明確になることを願っています。

h

$h$

H

$H$

— JohnK、2015年

完全で完全な回答が必要な場合は、stats.stackexchange.com / a / 71303/919の私の投稿に記載されています。結局のところ、楕円が円である場合、ユニフォームは（明らかに）円対称であるため、その答えのほぼすべてが直接適用されます。ない水平楕円の回転として楕円を表示することにより、特に、しかしとしてスキュー形質転換のための式ので、明らかになる（使用「楕円を作成する方法」セクションの表記法）。

ρ

$\rho$

\sqrt{1 - ρ^{2}} = λ = h / H

$\sqrt{1-\rho^2}=\lambda = h/H$

— whuber

ましょう均一に楕円の内部に分散させることが及び半あります楕円の軸。次に、とは限界密度がありますあり、ことが簡単にわかり。また、 $(X,Y)$

\frac{{バツ}^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

a

$a$

b

$b$

X

$X$

Y

$Y$

\begin{aligned} f_{バツ} （ バツ ） & = \frac{2}{π a^{2}} \sqrt{a^{2} - {バツ}^{2}} 1_{- a 、 a} （ バツ ） 、 \\ f_{バツ} （ バツ ） & = \frac{2}{π b^{2}} \sqrt{b^{2} - y^{2}} 1_{- b 、 b} （ y ） 、 \end{aligned}

$\begin{align} f_X(x) &= \frac{2}{\pi a^2}\sqrt{a^2-x^2}\,\,\mathbf 1_{-a,a}(x),\\ f_X(x) &= \frac{2}{\pi b^2}\sqrt{b^2-y^2}\,\,\mathbf 1_{-b,b}(y), \end{align}$

E [X] = E [Y] = 0

$E[X] = E[Y] = 0$

\begin{aligned} σ_{バツ}^{2} = E [{バツ}^{2}] & = \frac{2}{π a^{2}} \int_{a}^{a} {バツ}^{2} \sqrt{a^{2} - {バツ}^{2}} d バツ \\ = \frac{4}{π a^{2}} \int_{0}^{a} {バツ}^{2} \sqrt{a^{2} - {バツ}^{2}} d バツ \\ = \frac{4}{π a^{2}} \times a^{4} \frac{1}{2} \frac{Γ （ ３ / 2 ） Γ （ ３ / 2 ）}{Γ （ ３ ）} \\ = \frac{a^{2}}{4} 、 \end{aligned}

$\begin{align} \sigma_X^2 = E[X^2] &= \frac{2}{\pi a^2}\int_a^a x^2\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx\\ &= \frac{4}{\pi a^2}\int_0^a x^2\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx\\ &= \frac{4}{\pi a^2}\times a^4 \frac 12\frac{\Gamma(3/2)\Gamma(3/2)}{\Gamma(3)}\\ &= \frac{a^2}{4}, \end{align}$ 、および同様に、。最後に、とは無相関の確率変数です。

σ_{Y}^{2} = \frac{b^{2}}{4}

$\sigma_Y^2 = \frac{b^2}{4}$

X

$X$

Y

$Y$

ましょうで回転変換を適用する。次に、は、軸が軸と軸と一致しない楕円の内部に均一に分布します。しかし、とがゼロ平均確率変数であり、それらの分散がであることを確認するのは簡単ですさらに、

\begin{aligned} U & = バツ \cos θ - Y 罪 θ \\ V & = バツ 罪 θ + Y \cos θ \end{aligned}

$\begin{align} U &= X\cos \theta - Y \sin \theta\\ V &= X\sin \theta + Y \cos \theta \end{align}$

(X, Y)

$(X,Y)$

(U, V)

$(U,V)$

u

$u$

v

$v$

U

$U$

V

$V$

\begin{aligned} σ_{U}^{2} & = \frac{a^{2} \cos^{2} θ + b^{2} 罪^{2} θ}{4} \\ σ_{V}^{2} & = \frac{a^{2} 罪^{2} θ + b^{2} \cos^{2} θ}{4} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma_U^2 &= \frac{a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta}{4}\\ \sigma_V^2 &= \frac{a^2\sin^2\theta + b^2\cos^2\theta}{4} \end{align}$

cov （ U 、 V ） = （ σ_{バツ}^{2} - σ_{Y}^{2} ） 罪 θ \cos θ = \frac{a^{2} - b^{2}}{8} 罪 2 θ

$\operatorname{cov}(U,V) = (\sigma_X^2-\sigma_Y^2)\sin\theta\cos\theta = \frac{a^2-b^2}{8}\sin 2\theta$ の値を取得できます。

ρ_{U, V}

$\rho_{U,V}$

ここで、内部が均一に分布している楕円は、 $(U,V)$

\frac{（ あなた \cos θ + v 罪 θ ）^{2}}{a^{2}} + \frac{（ - あなた 罪 θ + v \cos θ ）^{2}}{b^{2}} = 1 、

$\frac{(u \cos\theta + v\sin \theta)^2}{a^2} + \frac{(-u \sin\theta + v\cos \theta)^2}{b^2} = 1,$ つまり、これはとして表すこともできますでに設定すると、。暗黙の分化しつつに対して、得られます

（ \frac{\cos^{2} θ}{a^{2}} + \frac{罪^{2} θ}{b^{2}} ） {あなた}^{2} + （ \frac{罪^{2} θ}{a^{2}} + \frac{\cos^{2} θ}{b^{2}} ） v^{2} + （ （ \frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} ） 罪 2 θ ） あなた v = 1 、

$\left(\frac{\cos^2\theta}{a^2} + \frac{\sin^2\theta}{b^2}\right) u^2 + \left(\frac{\sin^2\theta}{a^2} + \frac{\cos^2\theta}{b^2}\right) v^2 + \left(\left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right)\sin 2\theta \right)uv = 1,$

\begin{matrix} （1） & σ_{V}^{2} \cdot {あなた}^{2} + σ_{U}^{2} \cdot v^{2} - 2 ρ_{U 、 V} σ_{U} σ_{V} \cdot あなた v = \frac{a^{2} b^{2}}{4} \end{matrix}

$\sigma_V^2\cdot u^2 + \sigma_U^2\cdot v^2 -2\rho_{U,V}\sigma_U\sigma_V\cdot uv = \frac{a^2b^2}{4}\tag{1}$

u = 0

$u = 0$

(1)

$(1)$

h = \frac{a b}{σ_{U}}

$\displaystyle h = \frac{ab}{\sigma_U}$

(1)

$(1)$

u

$u$

σ_{V}^{2} \cdot 2 あなた + σ_{U}^{2} \cdot 2 v \frac{d v}{d あなた} - 2 ρ_{U 、 V} σ_{U} σ_{V} \cdot （ v + あなた \frac{d v}{d あなた} ） = 0 、

$\sigma_V^2\cdot 2u + \sigma_U^2\cdot 2v\frac{\mathrm dv}{\mathrm du} -2\rho_{U,V}\sigma_U\sigma_V\cdot \left(v + u\frac{\mathrm dv}{\mathrm du}\right) = 0,$ つまり、楕円接線は、楕円の2点で水平ですの値はこれから計算でき、（上記の計算を実行する際に、私が間違いをしなかった場合に）希望の結果が得られます。

(1)

$(1)$

(u, v)

$(u,v)$

ρ_{U 、 V} σ_{U} \cdot v = σ_{v} \cdot あなた 。

$\rho_{U,V}\sigma_U\cdot v = \sigma_v\cdot u.$

H

$H$

— ディリップ・サルワテ
ソース

これは適切な直交回転行列です。ありがとうございます。

— JohnK、2015年