帰無仮説での決定係数

私が作っ文の好奇心、このテキストの最初のページの下部に係る $R^2_\mathrm{adjusted}$ 調整

R_{a d j u s t e d}^{2} = 1 - (1 - R^{2}) (\frac{n - 1}{n - m - 1}) .

$R^2_\mathrm{adjusted} =1-(1-R^2)\left({\frac{n-1}{n-m-1}}\right).$

テキストの状態：

調整の論理は次のとおりです。通常の重回帰では、ランダムな予測子が平均して応答の変動の割合を説明するため、ランダムな予測子が平均して応答の変動。つまり、期待値はです。[ ]式をその値に適用すると、すべての予測変数がランダムであり、ます。 $1/(n – 1)$ $m$ $m/(n – 1)$ $R^2$ $\mathbb{E}(R^2) = m/(n – 1)$ $R^2_\mathrm{adjusted}$ $R^2_\mathrm{adjusted} = 0$

これは、非常にシンプルで解釈可能な動機のようです。ただし、単一のランダム（つまり、無相関）予測子に対してであると判断することはできませんでした。 $R^2_\mathrm{adjusted}$ $\mathbb{E}(R^2)=1/(n – 1)$

誰かが私をここで正しい方向に向けることができますか？

— gregory_britten
ソース

将来リンクが機能しなくなった場合、完全なリファレンスを提供できますか？ありがとうございました。

— リチャードハーディ

これは正確な数学的統計です。すべてのリグレッサ（定数項を除く）が従属変数（「ランダムな予測子」）と無相関であるという仮説の下でのの分布の導出については、この投稿を参照してください。 $R^2$

この分布はベータで、は定数項をカウントしない予測子の数、はサンプルサイズ、 $m$ $n$

R^{2} \sim B e t a (\frac{m}{2}, \frac{n - m - 1}{2})

$R^2 \sim Beta\left (\frac {m}{2}, \frac {n-m-1}{2}\right)$

など

E (R^{2}) = \frac{m / 2}{(m / 2) + [(n - m - 1) / 2]} = \frac{m}{n - 1}

$E(R^2) = \frac {m/2}{(m/2)+[(n-m-1)/2]} = \frac{m}{n-1}$

これは、調整された背後にあるロジックを「正当化」する賢い方法のようです。実際、すべてのリグレッサーが無相関の場合、調整されたは「平均」ゼロです。 $R^2$ $R^2$

— アレコスパパドプロス
ソース

必要な情報だけです！ありがとうございました！そして、長期にわたるスタック交換！

— gregory_britten

すべてのリグレッサが従属変数と無相関ではない場合に興味があります。これについて何か参考になりますか？

— オリビエ

@Olivierいいえ、私は恐れていません。「回帰有意性のF検定、代替下の分布」、またはそのようなものを見てください。

— アレコスパパドプロス