規範の文脈でのスーパースクリプト2サブスクリプト2の意味は何ですか？

最適化は初めてです。ノルムの右側に上付き文字2と下付き文字2がある方程式を見続けています。たとえば、ここに最小二乗方程式があります

分 $||Ax-b||^2_2$

上付き文字2を理解していると思います：それは標準の値を二乗することを意味します。しかし、下付き文字2とは何ですか？これらの方程式はどのように読むべきですか？

regression optimization notation

— bernie2436
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| | θ | |_{p}

$||\theta||_p$ ある

ℓ_{p}

$\ell_p$ のノルム

θ

$\theta$ 。さんが言ってみましょう

θ

$\theta$ ある

d

$d$ 次元、その後

| | θ | |_{p} = {(\sum_{i = 1}^{d} | θ_{i} |^{p})}^{\frac{1}{p}}

$||\theta||_p = \left(\sum_{i=1}^d |\theta_i|^p\right)^\frac{1}{p}$ 。

— ソビ

単一の垂直バーは絶対値（大きさ）に使用されます：

| θ |

$|\theta|$

— Scortchi -復活モニカ

ありがとう！...しかし、上付き文字2は何のためにあるのですか...

— mathopt

@ user1467929：二乗-それが何か他のものなら、彼らはきっと言っていただろう。

— Scortchi-モニカの復職

回答:

あなたは上付き文字について正しいです。下付き文字 $||.||_p$ は $p$ -normを指定します。

したがって：

| | {バツ}_{私} | |_{p} = （ \sum_{私} | {バツ}_{私} |^{p} ）^{1 / p}

$||x_i||_p=(\sum_i|x_i|^p)^{1/p}$

そして：

| | {バツ}_{私} | |_{p}^{p} = \sum_{私} | {バツ}_{私} |^{p}

$||x_i||_p^p=\sum_i|x_i|^p$

— RUser4512
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ああ。そして、私が見る添字の意味には慣習があります。en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics)#p-norm。そのため、1 =タクシーノルム、2 =

— ユークリッド

@ bernie2436：これらは、上記の答えで与えられた一般的な定義の特別なケースです（おそらく

sup-normを除く）

p = \infty

$p = \infty$

— Michael M

ベクトルのユークリッドノルムであり、。の乗ユークリッドノルムである。ユークリッドノルムとして、おそらく日常と略記主に一般的に使用されるノルム人であることに注意してください。定義によって空間ベクトル空間を想定した場合： $\|x\|_2$ $x$ $\|x\|_2^2$ $x$ $\|x\|$ 。 $\|x\|_2 := \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$

コメントで述べたように、添え字は標準の程度を指します。他の一般的に使用される規範は、、、およびです。以下のために一つは、非ゼロ要素の数を取得は、（すなわち。）一つはマンハッタンノルムを取得しするため一つの要素の絶対値の最大値を取得し。と両方 $p$ $p = 0$ $p = 1$ $p = \infty$ $p=0$ $x$ $p=1$ $\|x\|_1$ $p = \infty$ $x$ $p = 0$ は、いくつかの係数をゼロに「促す」ことを望む疎/圧縮アプリケーション設定で一般的です。 $p = 1$

— usεr11852によると、Reinstate Monic
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