ランダムウォークの自己相関とは何ですか？

それは本当に高いようですが、これは私には直観に反しています。誰か説明してもらえますか？私はこの問題に非常に混乱しており、詳細で洞察に満ちた説明をいただければ幸いです。よろしくお願いします！

（私はこれを、作成中にこの投稿の複製としてマークされた別の投稿への回答として書いた。私はそれを捨てるのではなく、ここに投稿することを考えた。それはwhuberのそれと非常に類似したことを言っているようだ答えですが、誰かがこれから何かを得ることができるほど十分に異なっています。）

ランダムウォークは、の形式です。$y_t = \sum_{i=1}^t \epsilon_i$

ことに注意してください$y_t = y_{t-1}+ \epsilon_t$

したがって、。$\text{Cov}(y_t,y_{t-1})=\text{Cov}(y_{t-1}+ \epsilon_t,y_{t-1})=\text{Var}(y_{t-1})$

も注意してください$\sigma^2_t=\text{Var}(y_t) = t\,\sigma^2_\epsilon$

したがって、。$\text{corr}(y_t,y_{t-1})=\frac{\sigma_{t-1}^2}{\sigma_{t-1}\sigma_t} =\frac{\sigma_{t-1}}{\sigma_t}=\sqrt{\frac{t-1}{t}}=\sqrt{1-\frac{1}{t}}\approx 1-\frac{1}{2t}$

つまり、が大きくなり始めるとすぐに、とはほぼ同じになるため、それらの間の相関差はかなり小さくなる傾向があります。y t y t − $t$$y_t$$y_{t-1}$

とプロットすることで、これを最も簡単に確認できます。y t − $y_t$$y_{t-1}$

やや直感的にそれを見ることができますがドリフトしたと想像してください（標準の正規ノイズ項を使用したランダムウォークのシミュレーションで確認したように）。そうすると、はかなり近くなります。それはまたはかもしれませんが、数単位以内であることはほぼ確実です。シリーズは上下ドリフトように、プロット対、ほぼ常に、かなり狭い範囲内に維持しようとしている線...未だ点を成長大きくをカバーすると沿って大きく伸びる - 20 Y T - 20 - 22 - 18.5 - 20 Y 、T 、Y T - 1、Y = X のT Y = X $y_{t-1}$$-20$$y_t$$-20$$-22$$-18.5$$-20$$y_t$$y_{t-1}$$y=x$$t$$y=x$ライン（ラインに沿った広がりはで増加しますが、垂直方向の広がりはほぼ一定のままです）。相関は1に近づく必要があります。$\sqrt{t}$

前の質問の文脈では、「ランダムウォーク」は1つの実現です $(x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n)$$(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$$(x_1,x_2, \ldots, x_n)$

$x_{i+1}$$x_i$$x_i$$x_0$$\sqrt{n}$$(x_i, x_{i+1})$$y=x\pm 1$$y=x$$\pm 1$$1$$(\sqrt{n}/2)^2 = n/4$$R^2$

$n=1000$ 1 − 4 /$R^2$$1 - 4/n$

これRが画像を生成したコードです。

set.seed(17)
n <- 1e3
x <- cumsum((runif(n) <= 1/2)*2-1)          # Binomial random walk at x_0=0
rho <- format(cor(x[-1], x[-n]), digits=3)  # Lag-1 correlation

par(mfrow=c(1,2))
plot(x, type="l", col="#e0e0e0", main="Sample Path")
points(x, pch=16, cex=0.75,  col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2))
plot(x[-n], x[-1], asp=1, pch=16, col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2),
     main="Lag-1 Scatterplot",
     xlab="Current value", ylab="Next value")
mtext(bquote(rho == .(rho)))