glmのガウスファミリのlmとglmに違いはありますか？

具体的には、私は違いがあるかどうかを知りたいlm(y ~ x1 + x2)とはglm(y ~ x1 + x2, family=gaussian)。glmのこの特定のケースはlmと等しいと思います。私が間違っている？

質問の本文に記載されている特定の形式のモデル（lm(y ~ x1 + x2)vsなどglm(y ~ x1 + x2, family=gaussian)）については、回帰とGLMは同じモデルですが、タイトルの質問では、もう少し一般的な質問をします。

glmのガウスファミリのlmとglmに違いはありますか？

答えは「はい」です。

GLMでリンク関数を指定することもできるため、それらが異なる可能性がある理由です。これにより、特定の形式の（または条件付き平均）と変数間の非線形関係に適合させることができます。これも同様に行うことができますが、値を開始する必要はありません。収束が改善される場合もあります（構文が少し簡単になります）。$y$$x$nls

たとえば、これらのモデルを比較します（Rがあるので、自分で実行できると仮定します）：

x1=c(56.1, 26.8, 23.9, 46.8, 34.8, 42.1, 22.9, 55.5, 56.1, 46.9, 26.7, 33.9, 
37.0, 57.6, 27.2, 25.7, 37.0, 44.4, 44.7, 67.2, 48.7, 20.4, 45.2, 22.4, 23.2, 
39.9, 51.3, 24.1, 56.3, 58.9, 62.2, 37.7, 36.0, 63.9, 62.5, 44.1, 46.9, 45.4, 
23.7, 36.5, 56.1, 69.6, 40.3, 26.2, 67.1, 33.8, 29.9, 25.7, 40.0, 27.5)

x2=c(12.29, 11.42, 13.59, 8.64, 12.77, 9.9, 13.2, 7.34, 10.67, 18.8, 9.84, 16.72, 
10.32, 13.67, 7.65, 9.44, 14.52, 8.24, 14.14, 17.2, 16.21, 6.01, 14.23, 15.63, 
10.83, 13.39, 10.5, 10.01, 13.56, 11.26, 4.8, 9.59, 11.87, 11, 12.02, 10.9, 9.5, 
10.63, 19.03, 16.71, 15.11, 7.22, 12.6, 15.35, 8.77, 9.81, 9.49, 15.82, 10.94, 6.53)

y = c(1.54, 0.81, 1.39, 1.09, 1.3, 1.16, 0.95, 1.29, 1.35, 1.86, 1.1, 0.96,
1.03, 1.8, 0.7, 0.88, 1.24, 0.94, 1.41, 2.13, 1.63, 0.78, 1.55, 1.5, 0.96, 
1.21, 1.4, 0.66, 1.55, 1.37, 1.19, 0.88, 0.97, 1.56, 1.51, 1.09, 1.23, 1.2, 
1.62, 1.52, 1.64, 1.77, 0.97, 1.12, 1.48, 0.83, 1.06, 1.1, 1.21, 0.75)

lm(y ~ x1 + x2)
glm(y ~ x1 + x2, family=gaussian) 
glm(y ~ x1 + x2, family=gaussian(link="log")) 
nls(y ~ exp(b0+b1*x1+b2*x2), start=list(b0=-1,b1=0.01,b2=0.1))

最初のペアは同じモデル（）であり、2番目のペアは同じモデル（および各ペア内の近似は基本的に同じです。$y_i \sim N(\beta_0+\beta_1 x_{1i}+\beta_2 x_{2i},\sigma^2)\,$$y_i \sim N(\exp(\beta_0+\beta_1 x_{1i}+\beta_2 x_{2i}),\sigma^2)\,$

したがって、タイトルの質問に関連して、回帰よりもGLMを使用すると、実質的に幅広いガウスモデルに適合できます。

短い答え、それらはまったく同じです：

# Simulate data:
set.seed(42)
n <- 1000

x1 <- rnorm(n, mean = 150, sd = 3)
x2 <- rnorm(n, mean = 100, sd = 2)
u  <- rnorm(n)
y  <- 5 + 2*x1 + 3*x2 + u

# Estimate with OLS:
reg1 <- lm(y ~ x1 + x2)
# Estimate with GLS
reg2 <- glm(y ~ x1 + x2, family=gaussian)

# Compare:
require(texreg)
screenreg(l = list(reg1, reg2))

=========================================
                Model 1      Model 2     
-----------------------------------------
(Intercept)        6.37 **       6.37 ** 
                  (2.20)        (2.20)   
x1                 1.99 ***      1.99 ***
                  (0.01)        (0.01)   
x2                 3.00 ***      3.00 ***
                  (0.02)        (0.02)   
-----------------------------------------
R^2                0.99                  
Adj. R^2           0.99                  
Num. obs.          1000          1000       
RMSE               1.00                  
AIC                           2837.66    
BIC                           2857.29    
Log Likelihood               -1414.83    
Deviance                       991.82    
=========================================
*** p < 0.001, ** p < 0.01, * p < 0.05

より長い答え。glm関数はMLEによるモデルに適合しますが、リンク関数（この場合は通常）についての仮定により、OLS推定値になります。

@Repmatの答えから、モデルの要約は同じですが、からの回帰係数のCIはとのconfint間lmでわずかに異なりglmます。

> confint(reg1, level=0.95)
               2.5 %    97.5 %
(Intercept) 2.474742 11.526174
x1          1.971466  2.014002
x2          2.958422  3.023291
> confint(reg2, level=0.95)
Waiting for profiling to be done...
               2.5 %    97.5 %
(Intercept) 2.480236 11.520680
x1          1.971492  2.013976
x2          2.958461  3.023251

$t$分布はで使用されますがlm、正規分布はglm間隔を構築するときに使用されます。

> beta <- summary(reg1)$coefficients[, 1]
    > beta_se <- summary(reg1)$coefficients[, 2]
> cbind(`2.5%` = beta - qt(0.975, n - 3) * beta_se, 
        `97.5%` = beta + qt(0.975, n - 3) * beta_se) #t
                2.5%     97.5%
(Intercept) 2.474742 11.526174
x1          1.971466  2.014002
x2          2.958422  3.023291
> cbind(`2.5%` = beta - qnorm(0.975)*beta_se, 
        `97.5%` = beta + qnorm(0.975)*beta_se) #normal
                2.5%     97.5%
(Intercept) 2.480236 11.520680
x1          1.971492  2.013976
x2          2.958461  3.023251