極限

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限界を示すことについて疑問に思っています： where is tail distribution function、、ここでは累積分布関数です

lim_{x \to \infty} x \bar{F} (x) = 0

$\lim_{x \to \infty} x\overline{F}(x) =0$

\bar{F} = 1 - F

$\overline{F} =1-F$

\bar{F} (x) = 1 - F (x)

$\overline{F}(x)=1−F(x)$

F

$F$

$x \to \infty$ 、 $\overline{F} \to 0$ ：我々は不定形を有するので、私は書き換え

lim_{x \to \infty} \frac{\bar{F} (x)}{1 / x}

$\lim_{x \to \infty} \frac{\overline{F}(x)}{1/x}$ 及び使用ロピタルの定理：

lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{1 / x^{2}}

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{1/x^2}$ が、これはの知識が必要

f

$f$ として

x \to \infty

$x \to \infty$ 私はありません持ってる。

この制限を評価するにはどうすればよいですか？

probability cdf

— dimebucker91
ソース

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仮定を明確にする必要があります。主張された結果は一般に（パレートの場合など）真実ではありませんが、

X

$X$ が正の場合に成立します

E [X] < \infty

$\mathbb{E}[X] < \infty$ 。ヒント：

x Pr {X > x} \leq E [X 1_{{X > x}}]

$x \text{Pr}\{ X > x \} \leq \mathbb{E}[X 1_{ \{X > x\} }]$ ます。

— Yves

@孤独なつまらないものですが、実際には状態はやや弱く、統合性が必要です。たとえば、は、厳密に未満のすべてのに対してを意味します。しかし、一般的にには当てはまりません。私の頭の上では、に比例する密度が反例になると思いますが、私は計算を完了していないことを告白します。

x^{p} Pr {| X | > x} \to 0

$x^p \Pr\{|X| > x\} \to 0$

E [| X |^{q}] < \infty

$E[|X|^q] < \infty$

q

$q$

p

$p$

q = p

$q = p$

1 / [x^{p + 1} \log x]

$1 / [x^{p+1} \log x]$

x > 2

$x > 2$

— 2015年

これは、 2ページのダースベイダールールという、ばかげた名前の論文で証明されています。この論文は、あなたの質問について正確に説明しているわけではありませんが、あなたの質問に答えています。

— RayVelcoro 2015年

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期待が存在し、確率変数が密度を持っていると仮定して（同等に、それはルベーグ測度に関して完全に連続的であると）、以下を示します。

lim_{x \to \infty} x [1 - F (x)] = 0

$\lim_{x\to\infty} x \left [1-F(x)\right]=0$

期待値が存在するということは、たとえばコーシー分布とは異なり、分布があまり太っていないことを意味します。

期待が存在するので、

E (X) = lim_{u \to \infty} \int_{- \infty}^{u} x f (x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x < \infty

$E(X)=\lim_{u\to \infty} \int_{-\infty}^u xf(x) \mathrm{dx} = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \mathrm{dx} < \infty$

これは常に明確に定義されています。今のことに注意してください、 $u \geq 0$

\int_{u}^{\infty} x f (x) d x \geq u \int_{u}^{\infty} f (x) d x = u [1 - F (u)]

$\int_{u}^{\infty} x f(x) \mathrm{dx} \geq u \int_{u}^{\infty} f(x) \mathrm{dx} = u \left[1-F(u) \right]$

そしてこれら二つからそれはそれに従います

lim_{u \to \infty} [E (X) - \int_{- \infty}^{u} x f (x) d x] = lim_{u \to \infty} \int_{u}^{\infty} x f (x) d x = 0

$\lim_{u \to \infty} \left[ E(X) - \int_{-\infty}^u xf(x) \mathrm{dx} \right] = \lim_{u\to \infty} \int_{u}^{\infty} x f(x) \mathrm{dx}=0$

制限のように期待に近づきます。不等式と被積分関数の非否定性により、結果が得られます。 $\int_{-\infty}^u xf(x) \mathrm{dx}$

お役に立てれば。

— ジョンK
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4

ありがとう（+1）。仮定を緩和します。たとえば、

がコーシー分布である場合、

の制限値

は

であり、ゼロではありません。パラメーターが

未満（

はコーシーを示す）のスチューデント

分布の場合、この制限は無限です。

F

$F$

x (1 - F (x))

$x(1-F(x))$

1 / π

$1/\pi$

t

$t$

1

$1$

1

$1$

— whuber

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任意の非負確率変数のために、我々は（（21.9）のを見たビリングの確率と尺度）：以下のための、交換することによってからのリード線 $Y$

\begin{matrix} (*) & E [Y] = \int Y d P = \int_{0}^{\infty} P [Y > t] d t . \end{matrix}

$E[Y] = \int Y dP = \int_0^\infty P[Y > t] dt. \tag{*}$

M > 0

$M > 0$

Y

$Y$

X I_{[X > M]}

$XI_{[X > M]}$

に

(*)

$(*)$

\begin{matrix} (**) & \int X I_{[X > M]} d P = M P [X > M] + \int_{M}^{\infty} P [X > t] d t \geq M P [X > M] . \end{matrix}

$\int XI_{[X > M]} dP= MP[X > M] + \int_M^\infty P[X > t] dt \geq MP[X > M]. \tag{**}$

が可積分（つまり、）であると仮定すると、の左側は、支配的な収束定理によってとして収束し。それは、その次 $X$ $E[|X|]< \infty$ $(**)$ $0$ $M \to \infty$ したがって、結果は以下の通りです。

0 \geq \underset{M \to \infty}{lim sup} M P [X > M] \geq \underset{M \to \infty}{lim inf} M P [X > M] \geq 0.

$0 \geq \limsup_{M \to \infty} MP[X > M] \geq \liminf_{M \to \infty} MP[X > M] \geq 0.$

備考：この証明は、いくつかの測度理論を使用します。密度の存在を仮定する証明は、確率変数の過半数のクラス（たとえば、二項分布やポアソンなどの離散確率変数）に対応していないため、価値があると思います。

— ザンシオン
ソース

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X

$X$

X 1_{{X > x_{0}}}

$X 1_{ \{X > x_0\}}$

x_{0}

$x_0$

X

$X$

X 1_{{X > x}}

$X 1_{ \{X > x\}}$

0

$0$

x \to \infty

$x \to \infty$

@ Yves @ guyはい、良い点です。完全性は十分な条件の1つにすぎませんが、必要条件ではありません。ただし、OPから求められた関係を導き出すために課された最も簡潔で通常の状態である可能性があります。

— Zhanxiong、2015年

E (X_{+}) < \infty

$\mathbb{E}(X_+) < \infty$

@Yvesもちろん:)

— Zhanxiong