サンプルサイズ、サンプル平均、母平均のみがわかっているスチューデントのt検定を実行する方法は？

スチューデントのは、サンプルの標準偏差sが必要です。ただし、サンプルサイズとサンプル平均のみがわかっている場合、sの計算方法は？$t$$s$$s$

たとえば、サンプルサイズがでサンプル平均が112の場合、それぞれ112の値を持つ49個の同一サンプルのリストを作成しようとします。予想どおり、サンプルの標準偏差は0です。これにより、t検定でゼロ除算の問題が発生します。$49$$112$$49$$112$$0$$t$

追加データ：
ACME North Factoryの労働者の平均収入は200 です。ACMEサウスファクトリーの49人の労働者のランダムサンプルの年間収入は112 ドルでした。この違いは統計的に有意ですか？$\$200$$49$$\$112$

人口平均が200 だと言ってもいいですか？$\$200$

これは多くの人を驚かせるかもしれませんが、この問題を解決するためにsを推定する必要は必ずしもありません。実際には、あなたが知っている必要はありません。何も（それはもちろん、参考になるが）データの広がりについてを。たとえば、2001年の記事のWall、Boen、およびTweedieは、単一の描画に基づいた単峰分布の平均の有限信頼区間を見つける方法を説明しています。

今回のケースでは、112のサンプル平均をほぼ正規分布（つまり、49の給与の単純なランダムサンプルの平均のサンプリング分布）からの引き分けと見なすための何らかの根拠があります。かなり多くの工場労働者がおり、給与の分配が中央限界定理を動作不能にするほど歪んでいないか、またはマルチモーダルではないことを暗黙のうちに想定しています。次に、平均の保守的な90％CIは、

200の真の平均を明確にカバーします（Wall 等の式3を参照）。利用可能な情報が限られており、ここで行われた仮定を考慮すると、112は200と「大幅に」異なると結論付けることはできません。

参照：「サイズ1および2のサンプルの平均の有効な信頼区間」。アメリカ統計学者、2001年5月、Vol。55、No。2：pp。102-105。（pdf）

これは少し不自然な質問のように見えます。49は7の正確な2乗です。p<0.05の両側検定の48 DoFのt分布の値は、ほぼ2（2.01）です。

| sample_mean-popn_mean |の場合、平均値の等しいという帰無仮説を棄却します。> 2 * StdError、つまり200-112> 2 * SEなのでSE <44、つまりSD <7 * 44 = 308。

平均賃金が112で標準偏差が308（またはそれ以上）の正規分布を、負の賃金なしで得ることは不可能です。

賃金が下に制限されていることを考えると、彼らはゆがんでいる可能性が高いので、対数正規分布がより適切であると仮定しますが、t検定でp <0.05を避けるためには依然として高度に変動する賃金が必要です。

$\mu = 0.999 * 112 + 0.001 * 88112 = 200.$$49 / 1000 < 0.05$サンプル平均は112です。実際、労働者/ CEOの比率、およびCEOの給与を調整することにより、49人の従業員のサンプルがCEOを引き寄せる可能性をarbitrarily意的になくすことができます。そして、サンプルの平均は112です。したがって、基礎となる分布についていくつかの仮定を行わないと、母平均についての推論を引き出すことができません。

私はあなたが1つのサンプルt検定に言及していると思います。その目標は、サンプルの平均を仮想の平均と比較することです。次に、この質問に答えるP値を計算します（母集団がガウス分布であると仮定します）：母平均が実際に仮想値である場合、平均がその値から（またはそれ以上）離れているサンプルを描画する可能性はどれほど低いでしょうか観察した？もちろん、その質問への答えはサンプルサイズに依存します。しかし、それはまた変動性にも依存します。データに大量の散布がある場合、それらは広範囲の母集団平均と一致しています。データが非常にタイトである場合、人口平均の範囲が狭いことに一貫性があります。