なぜ正射影の射影行列は対称的ですか？

私はこれにかなり慣れていないので、質問が素朴な場合はご容赦ください。（コンテキスト：私はダビッドソン＆マッキノンの本からの計量経済学を勉強しています「計量経済理論と方法」、そして、彼らはこれを説明していないようです。私も見てきたルーエンバーガーのビットより高度なレベルでの予測を扱うことに最適の本が、運がありません）。

射影行列Pが関連付けられている正射影$\mathbb P$とします。Iは各ベクトルを投影するに興味R nは、いくつかの部分空間にA ⊂ R N。$\bf P$$\mathbb{R}^n$$A \subset \mathbb{R}^n$

質問：T、つまりPが対称であるというのはなぜですか？この結果についてどのような教科書を見ることができますか？$\bf{P}=P$$^T$$\bf P$

これは、直交射影の線形代数の基本的な結果です。比較的簡単なアプローチは次のとおりです。場合スパニング正規直交ベクトルであるM次元部分空間Aを、そしてUはあるN × Pの持つ行列U Iカラムなどの、次に P = U U T。 これは、の正射影という事実から直接次X上にAがの正規直交基底の点で計算することができるAとして $u_1, \ldots, u_m$$m$$A$$\mathbf{U}$$n \times p$$u_i$

$$\mathbf{P} = \mathbf{U}\mathbf{U}^T.$$ $x$$A$$A$ 上記の式から直接、P2=PおよびPT=Pになり $$\sum_{i=1}^m u_i u_i^T x.$$ $\mathbf{P}^2 = \mathbf{P}$$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}.$

別の引数を指定することもできます。場合正射影のための射影行列であり、その後、定義により、すべてのためのX 、Y ∈ R N P X ⊥ Y - Pの Y 。 したがって、0 = （P x ）T（y − P y ）= x T P T（I − P）y = x T（P T − $\mathbf{P}$$x,y \in \mathbb{R}^n$

$$\mathbf{P}x \perp y-\mathbf{P}y.$$
すべてのためのX 、Y ∈ R N。これは、 P T = P T Pであり、そこから P = （P T ）T = （P T P ）T = P T P = P Tであることを示してい $$0 = (\mathbf{P} x)^T (y - \mathbf{P}y) = x^T \mathbf{P}^T (I - \mathbf{P}) y = x^T (\mathbf{P}^T - \mathbf{P}^T \mathbf{P}) y$$ $x, y \in \mathbb{R}^n$$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P}$ $$\mathbf{P} = (\mathbf{P}^T)^T = (\mathbf{P}^T \mathbf{P})^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{P}^T.$$

幾何学的な直観の試み...

1. 対称行列は自己随伴です。
2. スカラー積は、相互線形空間の成分によってのみ決定されます（ベクトルの直交成分には依存しません）。

$x$$A$$y$$\langle x,Ay \rangle$$x$ の投影のスパンで $y$。そのため、製品は$\langle Ax,Ay \rangle$、また $\langle Ax,y\rangle$ 同じ引数に従います。

以来 $A$ 自己随伴であり、対称的です。