二次計画法によるサポートベクターマシンの最適化

線形サポートベクターマシンのトレーニングプロセスを理解しようとしています。SMVのプロパティを使用すると、2次プログラミングソルバーを使用するよりもはるかに速く最適化できることを理解していますが、学習目的でこれがどのように機能するかを確認したいと思います。

トレーニングデータ

set.seed(2015)
df <- data.frame(X1=c(rnorm(5), rnorm(5)+5), X2=c(rnorm(5), rnorm(5)+3), Y=c(rep(1,5), rep(-1, 5)))
df
           X1       X2  Y
1  -1.5454484  0.50127  1
2  -0.5283932 -0.80316  1
3  -1.0867588  0.63644  1
4  -0.0001115  1.14290  1
5   0.3889538  0.06119  1
6   5.5326313  3.68034 -1
7   3.1624283  2.71982 -1
8   5.6505985  3.18633 -1
9   4.3757546  1.78240 -1
10  5.8915550  1.66511 -1

library(ggplot2)
ggplot(df, aes(x=X1, y=X2, color=as.factor(Y)))+geom_point()

最大マージン超平面を見つける

このSVMに関するWikipediaの記事によると、解決する必要がある最大マージン超平面を見つけるには

\arg min_{(w, b)} \frac{1}{2} ‖ w ‖^{2}

$\arg\min_{(\mathbf{w},b)}\frac{1}{2}\|\mathbf{w}\|^2$

y_{i} (w \cdot x_{i} - b) \geq 1.

$y_i(\mathbf{w}\cdot\mathbf{x_i} - b) \ge 1.$

サンプルデータをRのQPソルバー（たとえばquadprog）に「プラグイン」してを決定するにはどうすればよいですか？ $\mathbf{w}$

r svm optimization

— ベン
ソース

二重の問題を解決する必要があります

@fcop詳しく説明できますか？この場合のデュアルは何ですか？どのように使用して解決しRますか？等

— ベン

回答:

ヒント：

Quadprogは以下を解決します。

\begin{aligned} min_{x} d^{T} x + 1 / 2 x^{T} D x \\ such that A^{T} x \geq x_{0} \end{aligned}

$\begin{align*} \min_x d^T x + 1/2 x^T D x\\ \text{such that }A^T x \geq x_0 \end{align*}$

検討

x = (\begin{matrix} w \\ b \end{matrix}) and D = (\begin{matrix} I & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

$x = \begin{pmatrix} w\\ b \end{pmatrix} \text{and } D=\begin{pmatrix} I & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

ここで、は単位行列です。 $I$

場合ある及びある： $w$ $p \times 1$ $y$ $n \times 1$

\begin{aligned} x & : (2 p + 1) \times 1 \\ D & : (2 p + 1) \times (2 p + 1) \end{aligned}

$\begin{align*} x &: (2p+1) \times 1 \\ D &: (2p+1) \times (2p+1) \end{align*}$

同様の行：

x_{0} = {(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})}_{n \times 1}

$x_0 = \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}_{n \times 1}$

上記のヒントを使用してを定式化し、不等式制約を表します。 $A$

— 権利
ソース

道に迷いました。何である？

d^{T}

$d^T$

— ベン

目的関数のの係数は何ですか？ないけど？

w

$w$

| | w | |_{2}^{2}

$||w||^2_2$

w

$w$

— ライツキュード2015年

ヘルプに感謝します。私はこれを理解したと思ったのですが、D =マトリックスを設定するとquadprog、「2次関数のマトリックスDは正定値ではありません！」というエラーが返されます。

— ベン

HACK：撹乱小さな値発言権を添加することにより対角線上には

D

$D$

1 e - 6

$1e-6$

— rightskewed

rightskewedのヒントに従って...

library(quadprog)

# min(−dvec^T b + 1/2 b^T Dmat b) with the constraints Amat^T b >= bvec)
Dmat       <- matrix(rep(0, 3*3), nrow=3, ncol=3)
diag(Dmat) <- 1
Dmat[nrow(Dmat), ncol(Dmat)] <- .0000001
dvec       <- rep(0, 3)
Amat       <- as.matrix(df[, c("X1", "X2")])
Amat <- cbind(Amat, b=rep(-1, 10))
Amat <- Amat * df$Y
bvec       <- rep(1, 10)
solve.QP(Dmat,dvec,t(Amat),bvec=bvec)

plotMargin <- function(w = 1*c(-1, 1), b = 1){
  x1 = seq(-20, 20, by = .01)
  x2 = (-w[1]*x1 + b)/w[2]
  l1 = (-w[1]*x1 + b + 1)/w[2]
  l2 = (-w[1]*x1 + b - 1)/w[2]
  dt <- data.table(X1=x1, X2=x2, L1=l1, L2=l2)
  ggplot(dt)+geom_line(aes(x=X1, y=X2))+geom_line(aes(x=X1, y=L1), color="blue")+geom_line(aes(x=X1, y=L2), color="green")+
    geom_hline(yintercept=0, color="red")+geom_vline(xintercept=0, color="red")+xlim(-5, 5)+ylim(-5, 5)+
    labs(title=paste0("w=(", w[1], ",", w[2], "), b=", b))
}

plotMargin(w=c(-0.5065, -0.2525), b=-1.2886)+geom_point(data=df, aes(x=X1, y=X2, color=as.factor(Y)))

— ベン
ソース