無限のロールから選択されたダイスの平均値

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サイコロのペアを無限に振って、常に2つのうち高い方の値を選択した場合、最高値の予想平均は3.5を超えますか？

私が百万のサイコロを振って、毎回最高値を選択した場合、各ロールで6が使用できるというオッズは圧倒的だからです。したがって、予想される平均は5.999999999999のようなものでなければなりません...

ただし、2つのサイコロだけを使用した私の例では、期待される値がどうなるかはわかりません。誰かが番号に到着するのを手伝ってくれますか？わずか3.5を超えるでしょうか？これも計算できるものですか？

dice

— ジェイソン
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3

サンプル空間を列挙できますか？2ダイスの例の可能性をリストします。

— -soakley

6

実験をシミュレートすることもできます。このアプローチは、列挙が困難な場合（3つのサイコロを転がすなど）に役立ちます。

# fix the seed for reproducibility
set.seed(123)

# simulate pair of dice
rolls = matrix(sample(1:6, 2000000, replace=T), ncol=2)

# compute expected value
mean(apply(rolls, 1, max))
[1] 4.471531

— ニシャンス
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このためにシミュレーションを使用する必要はありません。一般的なケースは非常に簡単に分析できます。してみましょうのサイコロの数とすると、、圧延時に作られた最大のロールもサイコロを。 $n$ $X$ $n$

その次のと一般に

P （ バツ \leq 1 ） = {（ \frac{1}{6} ）}^{n}

$P(X \leq 1) = \left(\frac{1}{6}\right)^n$

のため

1と6の間したがって、我々は得ることができ

P （ バツ \leq k ） = {（ \frac{k}{6} ）}^{n}

$P(X \leq k) = \left(\frac{k}{6}\right)^n$

k

$k$

P （ バツ = k ） = P （ バツ \leq k ） - P （ バツ \leq k - 1 ） = {（ \frac{k}{6} ）}^{n} - {（ \frac{k - 1}{6} ）}^{n} 。

$P(X = k) = P(x \leq k) - P(x \leq k-1)=\left(\frac{k}{6}\right)^n-\left(\frac{k-1}{6}\right)^n.$

したがって、確率分布を閉じた形で書き留めることができます。に対してこれを行うと、期待値4.472222が得られます。 $n = 2$

— エリック
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2

P (X = 6) = 1^{n} - (\frac{5}{6})^{n} \to 1

$P(X = 6) = 1^n - (\frac{5}{6})^n \rightarrow 1$

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

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些細なケースを解いて答えを確認することをお勧めします。

[\begin{matrix} （ 1 、 1 ） & （ 1 、 2 ） & 。 。 。 \\ （ 2 、 1 ） & （ 2 、 2 ） & 。 。 。 \\ （ 3 、 1 ） & （ 3 、 2 ） & 。 。 。 \\ 。 。 。 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} (1,1) & (1,2) & ... \\ (2,1) & (2,2) & ... \\ (3,1) & (3,2) & ... \\ ... \end{bmatrix}$

合計の期待値は7です。これは、ロールが同一の独立した図面であり、合計できるためです。フェアキュービックダイスを振る予想は3.5です。

[\begin{matrix} 1 & 2 & 。 。 。 \\ 2 & 2 & 。 。 。 \\ 3 & 3 & 。 。 。 \\ 。 。 。 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & ... \\ 2 & 2 & ... \\ 3 & 3 & ... \\ ... \end{bmatrix}$

次のように期待値を計算します。

E [バツ] = Σ （ バツ P （ バツ ） ） = 1 / 36 （ 1 ） + 1 / 36 （ 2 ） + 。 。 。 + 1 / 36 （ 6 ） \approx 4.47

$E[x] = \Sigma(xP(x)) = 1/36(1) + 1/36(2) + ... + 1/36(6) \approx 4.47$ 。

ローリング $n$ サイコロは（確率的な意味で）1つのサイコロを振ることと同等です。 $n$ 回。だからローリング $n$ サイコロを使用すると、マトリックスがどのように変化し、結果の期待値がどのように変化するかを確認できます。

— d0rmLife
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2

36個の組み合わせのそれぞれの確率が等しいと仮定すると、36個の組み合わせのそれぞれの値を加算し、36で除算して平均を取得するだけです。

1つの可能性：11
3つの可能性：12、21、22
5つの可能性：13、23、31、32、33
7つの可能性：14、24、34、41、42、43、44
9つの可能性：15、25、35、45、51、52、53、54、55
11の可能性：16、26、36、46、56、61、62、63、64、65、66

（1 * 1 + 2 * 3 + 3 * 5 + 4 * 7 + 5 * 9 + 6 * 11）/ 36 = 4.47222 ..

— ブリガイ37
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1

Troll Dice Rollerは、サイコロの確率を見つけるためのツールです。彼は実装について説明した論文を持っていますが、かなりアカデミックです。

max(2d6) 利回り

1 - 2.8%
2 - 8.3%
3 - 13.9%
4 - 19.4%
5 - 25%
6 - 30.6%
Average value =    4.47222222222
Spread =       1.40408355068
Mean deviation =       1.1975308642

— 質問C
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