条件付き確率の導出で起こり得る間違い

以下は、私が現在研究している論文からの密度の導出です。品質が悪いため申し訳ありませんが、それはかなり古い紙です。私はそれを明確にする必要内標準指数密度有する、上に均一であるそれらが独立しています。もちろん、人口相関係数は定数です。とは、標準の2変量正規分布、つまり三角法の表現に由来しますが、これはここでは何の役割も果たしていないと思います。 $R$ $(0,\infty)$ $U$ $(0,1)$ $\rho$ $X$ $Y$

私が理解していないのは、著者が正または負のについてこれらの結論に到達する方法です。負の数による除算との非負性は適切に考慮されていないように思えます。もちろん間違えることもありますので、アドバイスをいただければ幸いです。ありがとうございました。 $t$ $R$

— ジョンK
ソース

@西安コメントありがとうございます。この表現は、

、

と

独立しているという事実から派生しています。和が分散有するので

との差

、次いで

同じ分布を有する

X Y = [(X + Y)^{2} - (X - Y)^{2}] / 4

$XY = \left[ (X+Y)^2 -(X-Y)^2 \right]/4$

X - Y

$X-Y$

X + Y

$X+Y$

2 (1 + ρ)

$2(1+\rho)$

2 (1 - ρ)

$2(1-\rho)$

X Y

$XY$

今や標準正規分布を有しています。次に、結果は

\frac{1}{2} ((1 + ρ) Z_{1}^{2} - (1 - ρ) Z_{2}^{2})

$\frac{1}{2}\left((1+\rho)Z_1^2 -(1-\rho) Z_2 ^2 \right)$

Z_{i}

$Z_i$

と

Z_{1} = \sqrt{- 2 \log (U_{1}}) \cos (2 π U_{2})

$Z_1=\sqrt{-2\log(U_1})\cos(2\pi U_2)$

、ボックスミュラー変換し、そのuitlizing

標準指数分布有し

Z_{2} = \sqrt{- 2 \log (U_{1})} \sin (2 π U_{2})

$Z_2=\sqrt{-2\log(U_1)} \sin(2\pi U_2)$

- \log (U)

$- \log(U)$

— JohnK

@西安問題ありません。それで、その後のステップは正しいと思いますか？

— JohnK、2015年

私も間違えられるかもしれませんが、分解に問題はありません。

$t\ge 0$

\begin{aligned} P (R (\cos (π U) & + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \geq 0) \\ + P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \leq 0) \\ = P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \geq 0) \end{aligned}

$\begin{align*} P(R(\cos(\pi U)&+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0)\\ &+P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\le 0)\\ &=P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0) \end{align*}$

R

$R$

P (X Y \geq t) = P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \geq 0) = P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, U \leq \cos^{- 1} (- ϱ) / π) = \int_{0}^{\cos^{- 1} (- ϱ) / π} P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t) d u

$P(XY\ge t) = P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0)\quad\qquad \\ \ \ \ = P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,U\le\cos^{-1}(-\varrho)/\pi)\\ = \int_0^{\cos^{-1}(-\varrho)/\pi} P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t)\,\text{d}u$

$t\le 0$

R (\cos (π U) + ϱ) \geq t

$R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t$

\cos (π U) + ϱ \geq 0

$\cos(\pi U)+\varrho\ge 0$

\begin{aligned} P (R (\cos (π U) & + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \geq 0) \\ + P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \leq 0) \\ = P (\cos (π U) & + ϱ \geq 0) \\ + P (R (- \cos (π U) - ϱ) \leq - t, \cos (π U) + ϱ \leq 0) \\ = P (\cos (π U) & + ϱ \geq 0) \\ + P {R \leq t / (\cos (π U) + ϱ), U \geq \cos^{- 1} (- ϱ) / π} \\ = P (\cos (π U) & + ϱ \geq 0) \\ + \int_{\cos^{- 1} (- ϱ) / π}^{1} P {R \leq t / (\cos (π u) + ϱ} \end{aligned}

$\begin{align*} P(R(\cos(\pi U)&+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0)\\ &+P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\le 0)\\ =P(\cos(\pi U)&+\varrho\ge 0)\\ &+P(R(-\cos(\pi U)-\varrho)\le -t,\cos(\pi U)+\varrho\le 0)\\ =P(\cos(\pi U)&+\varrho\ge 0)\\ &+P\left\{R\le t\big/(\cos(\pi U)+\varrho),U\ge\cos^{-1}(-\varrho)/\pi\right\}\\ =P(\cos(\pi U)&+\varrho\ge 0)\\ &+\int_{\cos^{-1}(-\varrho)/\pi}^1 P\left\{R\le t\big/(\cos(\pi u)+\varrho\right\} \end{align*}$

— 西安
ソース

私の間違いは余弦を反転することでした、私は不等式を切り替えませんでした。ご回答どうもありがとうございました。

— JohnK、2015年