離散確率変数を半分にしますか？

9

ましょでその値をとる離散ランダム変数で。この変数を半分にしたいと思います。つまり、次のようなランダム変数を見つけます。 $X$ $\mathbb{N}$ $Y$

X = Y + Y^{*}

$X = Y + Y^*$

どこの独立したコピーである。 $Y^*$ $Y$

私はこのプロセスを半減と呼んでいます。これは構成された用語です。この操作の適切な用語が文献に記載されていますか？
そのようなは、負の確率を受け入れる場合にのみ常に存在するように見えます。私の観察は正しいですか？ $Y$
に最適なポジティブフィットの概念はありますか？別名、上記の方程式を解くための「最も近い」確率変数。 $Y$

ありがとう！

random-variable

— ジョアンズ・バーモレル
ソース

1

正確に「半減」できない場合は、「最も近い」の定義が複数あります。最適化する対象によって異なります。

— Glen_b-2015

回答:

10

このプロパティに強く関連する概念（弱い場合）は分解可能性です。分解可能な法則は、2つ（またはそれ以上）の自明ではない独立確率変数の合計の分布として表すことができる確率分布です。（そして、分解できない法則はそのように書くことはできません。「以上」は明らかに無関係です。）分解可能性のための必要かつ十分な条件は、特性関数は、2つ（またはそれ以上）の特性関数の積です。

ψ (t) = E [\exp {i t X}]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$

あなたが検討している特性が確率論ですでに名前を持っているかどうか、おそらく無限の可分性にリンクされているかどうかはわかりません。これははるかに強力なプロパティですが、このプロパティが含まれています。無限に分割可能なすべてのrvがこの分解を満たします。 $X$

この「1次分割可能性」の必要かつ十分な条件は、特性関数が再び特性関数であることです。

ψ (t) = E [\exp {i t X}]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$

整数をサポートする分布の場合、特性関数は多項式であるため、これはほとんど当てはまりません。たとえば、ベルヌーイ確率変数は分解できません。 $\exp\{it\}$

分解性に関するウィキペディアのページで指摘されているように、密度ような、分解できない完全に連続的な分布も存在します。

f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{2 π}} \exp {- x^{2} / 2}

$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}}\exp\{-x^2/2\}$

の特性関数が実数値である場合、ポリアの定理を使用できます。 $X$

ポリャの定理。φが条件を満足する実数値の偶数連続関数の場合
φ(0) = 1,
φ is convex on (0,∞),
φ(∞) = 0,
次に、φは完全に連続的な対称分布の特性関数です。

実際、この場合、は再び実数値になります。したがって、が1で割り切れるのに十分な条件は、φが根凸であることです。しかし、これは対称分布にのみ適用されるので、たとえば、ボクナーの定理よりもはるかに限定された用途です。 $\varphi^{1/2}$ $X$

— 西安
ソース

6

これが当てはまるいくつかの特殊なケースがありますが、 任意の離散確率変数の場合、「半分」にすることはできません。

2つの独立した二項確率変数の合計は、二項確率変数であるため、二項は「半分」になります。演習：二項確率変数を「半分」にできるかどうかを調べます。 $(n,p)$ $(2n,p)$ $(2n,p)$
$(2n+1,p)$
同様に、負の二項確率変数は「半分」にすることができます。 $(2n,p)$
2つの独立したポアソン確率変数の合計は、ポアソンです。逆に、ポアソン確率変数は、2つの独立したポアソン確率変数の合計です。実際、@ Xi'anがコメントで指摘しているように、ポアソン確率変数は、好きなだけ「半分」にすることができます。正の整数ごとに、独立したポアソン合計です。確率変数。 $(\lambda)$ $(2\lambda)$ $(\lambda)$ $(\frac{\lambda}{2})$ $(\lambda)$ $n$ $2^n$ $\left(\frac{\lambda}{2^n}\right)$

— ディリップ・サルワテ
ソース

2

+1私の記憶は、個別のユニフォームはそれが不可能な特定のケースであるということです（私は他にもたくさんあると思いますが、私が見たものです）。

— Glen_b-2015

実際、一様分布は分解可能ですが、上記の意味では分割できません。

— 西安

2

ポアソン分布は無限に割り切れる分布の一例であるため、任意の数のiid変量の合計に分割できます。

— 西安

-1

問題はあなたが「独立したコピー」を要求するように私に思われます、そうでなければあなたは単に乗算することができますか？コピーを書く代わりに（コピーは常に依存します）、「2つの独立しているが同一に分布したランダム変数」を書く必要があります。 $\frac{1}{2}$

あなたの質問に答えるために、

最も近いものはたぶん畳み込みという用語でしょう。指定されたについて、畳み込み持つ2つのiid RVを探しています。 $X$ $X$
負の確率を受け入れると、確率空間がなくなったため、これらは確率変数ではなくなります。このような（ -Poisson-distributed、、 -Poisson-distributed）が見つかる場合と、それができない場合（ベルヌーイなど）。 $Y,Y^*$ $X$ $\lambda$ $Y$ $Y^*$ $\frac{\lambda}{2}$ $X$
私は何も見たことがなく、そのようなベストフィットを形式化する方法を想像することはできません。通常、確率変数への近似は確率変数の空間のノルムによって測定されます。非ランダム変数による、または非ランダム変数へのランダム変数の近似を考えることはできません。

お役に立てれば幸いです。

— マット
ソース

弊社のサイトを使用することにより、あなたは弊社のクッキーポリシーおよびプライバシーポリシーを読み、理解したものとみなされます。

Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.