どのように計算する

私は論文の問題を解決しようとしていますが、どうすればよいかわかりません。一様な分布からランダムに取得した4つの観測があります。ある確率を計算したい。 はi番目の次数統計です（観測値が最小から最大にランク付けされるように次数統計を取ります）。より簡単なケースで解決しましたが、ここではその方法に迷っています。$(0,1)$$3 X_{(1)}\ge X_{(2)}+X_{(3)}$$X_{(i)}$

すべての助けを歓迎します。

、として次数統計を書き込みます。まず、が意味することに注意してください$(x_1,x_2,x_3,x_4)$$0 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le 1$$x_1 \le x_2$

$$\Pr[3x_1 \ge x_2+x_3] = 1 - \Pr[3x_1 \lt x_2+x_3] = 1 - \Pr[x_1 \le \min(x_2, \frac{x_2+x_3}{3})].$$

この最後のイベントは、$x_2$と（x_2 + x_3）/ 2のどちらが$(x_2+x_3)/2$大きいかに応じて、2つのばらばらのイベントに分かれます。

$$\eqalign{ \Pr[x_1 \le \min(x_2, \frac{x_2+x_3}{3})] &= \Pr[x_2 \le \frac{x_3}{2},\quad x_1 \le x_2] \\ &+ \Pr[\frac{x_3}{2} \le x_2 \le x_3,\quad x_1 \le \frac{x_2+x_3}{3}]. }$$

そのための共同分布が均一であるセットで、密度の、$0 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le 1$$4! dx_4 dx_3 dx_2 dx_1$

$$\Pr[x_2 \le \frac{x_3}{2},\quad x_1 \le x_2] = 4! \int_0^1 dx_4 \int_0^{x_4} dx_3 \int_0^{x_3/2} dx_2 \int_0^{x_2} dx_1 = \frac{1}{4}$$

そして

$$\Pr[\frac{x_3}{2} \le x_2 \le x_3,\quad x_1 \le \frac{x_2+x_3}{3}]=4! \int_0^1 dx_4 \int_0^{x_4} dx_3 \int_{x_3/2}^{x_3} dx_2 \int_0^{(x_2+x_3)/2} dx_1 = \frac{7}{12}.$$

（各積分は反復積分として実行するのは簡単です。多項式積分のみが関係します。）

したがって、望ましい確率は =ます。$1 - (1/4 + 7/12)$$1/6$

編集する

賢い溶液（作業が簡素化される）という認識に由来指数分布をIIDた、、次いで（書き込み） 、スケーリングされた部分合計$y_j$$1\le j\le n+1$$y_1+y_2+\cdots+y_{n+1} = Y\ $

$$x_i = \sum_{j=1}^{i}y_j/Y,$$

$1\le i\le n$は、一様統計のように分布します。はほぼ確実に正なので、任意の、$Y$ $n\ge 3$

$$\eqalign{ \Pr[3x_1\ge x_2+x_3] &= \Pr[\frac{3y_1}{Y}\ge\frac{y_1+y_2}{Y}+\frac{y_1+y_2+y_3}{Y}]\\ &=\Pr[3y_1\ge(y_1+y_2)+(y_1+y_2+y_3)]\\ &= \Pr[y_1\ge 2y_2+y_3]\\ &= \int_0^\infty \exp(-y_3)\int_0^\infty \exp(-y_2) \int_{2y_2+y_3}^\infty \exp(-y_1) dy_1 dy_2 dy_3\\ &= \int_0^\infty \exp(-y_3)\int_0^\infty \exp(-y_2)\left[\exp(-2y_2-y_3)\right]dy_2 dy_3 \\ &= \int_0^\infty \exp(-2y_3)dy_3 \int_0^\infty \exp(-3y_2)dy_2 \\ &= \frac{1}{2} \frac{1}{3} = \frac{1}{6}. }$$